선형대수학

수학노트
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개요

  • 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
  • 선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.
  • 수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.



다루는 대상

  • 벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상



중요한 개념 및 정리

  • 벡터공간
    • 스칼라와 벡터
    • 선형대수학 = 체의 모듈 이론
  • 선형사상
  • 행렬
    • 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
  • 연립방정식 풀기
    • row reduction 을 통한 해 구하기
    • 역행렬을 통한 해 구하기
    • LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …
  • Fundamental spaces of a matrix
    • 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간
  • Dimension 정리
  • 행렬식
  • 고유값, 고유벡터, 대각화
  • 선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류
    • 대각화의 일반화
    • Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.
  • 내적공간
    • 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간
  • 특성 다항식


유명한 정리 혹은 재미있는 문제

  • 케일리-해밀턴 정리


선수 과목

  • 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.
  • 고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.


다른 과목과의 관련성

  • 다변수미적분학
  • 상미분방정식
  • 해석학
    • 내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.
    • 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.
  • 양자역학
    • 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.



관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

  • Multilinear algebra
  • 코딩이론
    • 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨.
    • 코딩이론은 유한체 위에서 행해지는 선형대수학
  • 이차형식
    • 내적공간의 일반화로서, 좀더 일반적인 symmetric bilinear form 이 주어져 있는 벡터공간, 즉 quadratic space 에 대한 공부는 이차형식의 영역으로 안내.
  • 유한군의 표현론
  • 리대수와 표현론



메모


관련된 항목들

리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

노트

  • This course parallels the combination of theory and applications in Professor Strang’s textbook Introduction to Linear Algebra.[1]
  • This gives a small taste of the very core of linear algebra that interests us as machine learning practitioners.[2]
  • In it, he demonstrates specific mathematical tools rooted in linear algebra.[2]
  • Welcome to the Home Page for the CAU course on Linear Algebra.[3]
  • Linear Algebra also has a supplemental, optional, lab manual using Sage.[4]
  • Linear algebra usually starts with the study of vectors, which are understood as quantities having both magnitude and direction.[5]
  • The branch of maths treating simultaneous linear equations is called linear algebra.[6]
  • Linear algebra uses the tools and methods of vector and matrix operations to determine the properties of linear systems.[7]
  • In 1844 Hermann Grassmann published his "Theory of Extension" which included foundational new topics of what is today called linear algebra.[8]
  • Linear algebra grew with ideas noted in the complex plane .[8]
  • Linear algebra is flat differential geometry and serves in tangent spaces to manifolds .[8]
  • Until the 19th century, linear algebra was introduced through systems of linear equations and matrices .[8]
  • A linear algebra also admits an outer operation of multiplication by scalars (that are elements of the underlying field ).[9]
  • For example, the set of all linear transformations from a vector space to itself over a field forms a linear algebra over .[9]
  • This self-contained, clearly written textbook on linear algebra is easily accessible for students.[10]
  • Articles that provide new information or perspectives on the historical development of matrix theory and linear algebra are also welcome.[11]
  • “Linear Algebra” means, roughly, “line-like relationships”.[12]
  • Linear algebra emerged in the 1800s yet spreadsheets were invented in the 1980s.[12]
  • The beauty of linear algebra is representing an entire spreadsheet calculation with a single letter.[12]
  • A First Course in Linear Algebra is an introductory textbook designed for university sophomores and juniors.[13]
  • This is a book for anyone who wants to really understand linear algebra.[14]
  • Therefore, the tools from linear algebra are used in many fields.[14]
  • This book appeared as lecture notes for the course "Honors Linear Algebra".[15]
  • In most standard ways this text is consistent with traditional philosophies for teaching Linear Algebra.[16]
  • The text is organized in a familiar manner ideal for those searching first to find applications of linear algebra.[16]
  • Linear Algebra is an online and individually-paced course equivalent to a first-year college linear algebra course.[17]
  • The next challenge is to figure out how to learn Linear Algebra.[18]
  • If you have faced this question about how to learn & what to learn in Linear Algebra – you are at the right place.[18]
  • So, now you would understand the importance of Linear Algebra in machine learning.[18]
  • This should be motivation enough to go through the material below to get you started on Linear Algebra.[18]

소스

  1. ↑ Linear Algebra
  2. ↑ 2.0 2.1 A Gentle Introduction to Linear Algebra
  3. ↑ Linear Algebra (Hayes)
  4. ↑ Free Linear Algebra textbook
  5. ↑ Linear algebra
  6. ↑ MA106 Linear Algebra
  7. ↑ Alpha Examples: Linear Algebra
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 Linear algebra
  9. ↑ 9.0 9.1 Linear Algebra -- from Wolfram MathWorld
  10. ↑ Belkacem Said-Houari
  11. ↑ Linear Algebra and its Applications
  12. ↑ 12.0 12.1 12.2 An Intuitive Guide to Linear Algebra – BetterExplained
  13. ↑ A First Course in Linear Algebra (A Free Textbook)
  14. ↑ 14.0 14.1 Linear Algebra | Algebra
  15. ↑ Linear Algebra Done Wrong
  16. ↑ 16.0 16.1 Open Textbook Library
  17. ↑ Johns Hopkins Center for Talented Youth
  18. ↑ 18.0 18.1 18.2 18.3 A comprehensive guide for beginners
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