"미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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* 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
  
 
 
 
 
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* 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>
 
* 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>
 
*  곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt</math><br>
 
*  곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt</math><br>
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*  곡선 C 위에서 벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 적분과 같다<br><math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega</math><br>
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*  곡선 C 위에서 1-형식<math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>의 저벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 적분과 같다<br><math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega</math><br>
  
 
(증명)
 
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<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt</math>. ■
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<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt=\int_{C}\omega</math>. ■
  
 
 
 
 
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(증명)
 
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 <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)</math> 을 관찰하자.
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 <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)</math> 을 관찰하자.
  
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<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (f_x,f_y,f_z)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t})\, ds\, dt=\iint_{S}\omega</math>. ■
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<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega</math>. ■
  
 
 
 
 
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** Peter Scherk and Michael Kwizak, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 58, No. 5 (May, 1951), pp. 297-305
 
** Peter Scherk and Michael Kwizak, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 58, No. 5 (May, 1951), pp. 297-305
 
* [http://www.jstor.org/stable/2695706 Differential Forms, the Early Days; or the Stories of Deahna's Theorem and of Volterra's Theorem]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2695706 Differential Forms, the Early Days; or the Stories of Deahna's Theorem and of Volterra's Theorem]<br>
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** Hans Samelson, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 108, No. 6 (Jun. - Jul., 2001), pp. 522-530
 
** Hans Samelson, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 108, No. 6 (Jun. - Jul., 2001), pp. 522-530
  

2011년 4월 10일 (일) 07:39 판

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개요
  • 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다

 

 

1-형식의 적분
  • 매개곡선 C:  \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))\), \(a\leq t \leq b\)
  • 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
  • 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt\)
  • 곡선 C 위에서 1-형식\(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)의 저벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 적분과 같다
    \(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\)

(증명)

\(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt=\int_{C}\omega\). ■

 

 

2-형식의 적분
  • 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))\], \((u,v)\in D\)
  • 2-form \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)
  • S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv\)
  • 곡면 S위에서 벡터장\(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)의 적분과 같다
    \(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\)

(증명)

 \({\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)\) 을 관찰하자.

\(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega\). ■

 

 

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