"미분형식과 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 공개로 바꾸었습니다.) |
|||
| 11번째 줄: | 11번째 줄: | ||
* 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다<br> | * 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다<br> | ||
* 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다<br> | * 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다<br> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 69번째 줄: | 63번째 줄: | ||
<h5>맥스웰 방정식의 미분형식 표현</h5> | <h5>맥스웰 방정식의 미분형식 표현</h5> | ||
| − | * [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>)<br><math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = | + | * [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>)<br><math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>)<br> |
| + | * 단위는 <math>\mu_0= \varepsilon_0}=c=1</math> 이 되도록 선택 | ||
| 140번째 줄: | 135번째 줄: | ||
* [http://www.math.sunysb.edu/%7Ebrweber/401s09/coursefiles/ElectromagneticNotes.pdf Notes on Electrodynamics] | * [http://www.math.sunysb.edu/%7Ebrweber/401s09/coursefiles/ElectromagneticNotes.pdf Notes on Electrodynamics] | ||
* 슬라이드 [https://www.nottingham.ac.uk/ggiemr/downloads/GCEM.pdf Geometrical Concepts in Teaching Electromagnetics] | * 슬라이드 [https://www.nottingham.ac.uk/ggiemr/downloads/GCEM.pdf Geometrical Concepts in Teaching Electromagnetics] | ||
| + | |||
| + | * [http://www22.pair.com/csdc/pd2/pd2fre21.htm Maxwell Theory and Differential Forms]<br> | ||
| + | ** [http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf http://www22.pair.com/csdc/]<br> | ||
| + | ** [http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf Maxwell Faraday and Maxwell Ampere Equations]<br> | ||
| + | * [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.7828&rep=rep1&type=pdf Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms] | ||
2012년 6월 12일 (화) 19:03 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
- 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
포벡터 포텐셜 1-form
- 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
- \((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
- 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)
전자기 텐서 2-form
- 전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)
\(F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\) - [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식|]]
전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
\(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\) - \(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
- 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다
\(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)
Hodge star 연산자
- \(\star dx dy =-dzdt\)
- \(\star dy dz =-dxdt\)
- \(\star dz dx =-dydt\)
- \(\star dx dt =dydz\)
- \(\star dy dt =dzdx\)
- \(\star dz dt=dxdy\)
- 전자기 텐서의 dual
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\)
\(\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\)
전류 4-vector
- 미분형식으로 표현하면,
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
- dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
맥스웰 방정식의 미분형식 표현
- 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다
\(dF=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
\(d{\star F}=\star J\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\), \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\)) - 단위는 \(\mu_0= \varepsilon_0}=c=1\) 이 되도록 선택
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms
- Introduction to differential forms
- Notes on Electrodynamics
- 슬라이드 Geometrical Concepts in Teaching Electromagnetics
- Maxwell Theory and Differential Forms
- Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms
관련논문