미분형식과 맥스웰 방정식

수학노트
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개요

  • 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
  • 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다



포벡터 포텐셜 1-form

  • 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
  • <math>(A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})</math>
  • 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>



전자기 텐서 2-form

  • 전자기 텐서<math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>:<math>F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)</math>
  • 전자기 텐서와 맥스웰 방정식 전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음:<math>F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}</math>:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>
  • <math>F=dA</math> 이며, 따라서 <math>dF=0</math> 를 얻는다
  • 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다:<math>F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F</math>



Hodge star 연산자

  • <math>\star dx dy =-dzdt</math>
  • <math>\star dy dz =-dxdt</math>
  • <math>\star dz dx =-dydt</math>
  • <math>\star dx dt =dydz</math>
  • <math>\star dy dt =dzdx</math>
  • <math>\star dz dt=dxdy</math>
  • 전자기 텐서의 dual:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>:<math>\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t</math>



전류 4-vector

  • 미분형식으로 표현하면,
    • 1-form <math>J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz</math>
    • dual 3-form <math>\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt </math>



맥스웰 방정식의 미분형식 표현

  • 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>):<math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>)
  • 단위는 <math>\mu_0 \varepsilon_0=c=1</math> 이 되도록 선택



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