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* 단어사전<br> | * 단어사전<br> | ||
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* [http://users.aims.ac.za/%7Esolomon/akason.pdf Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms] | * [http://users.aims.ac.za/%7Esolomon/akason.pdf Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms] | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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2012년 11월 1일 (목) 13:49 판
이 항목의 수학노트 원문주소==
개요
- 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
- 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
포벡터 포텐셜 1-form
- 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
- \((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
- 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)
전자기 텐서 2-form
- 전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)
\(F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\)
- 전자기 텐서와 맥스웰 방정식
전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
\(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\)
- \(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
- 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다
\(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)
Hodge star 연산자
- \(\star dx dy =-dzdt\)
- \(\star dy dz =-dxdt\)
- \(\star dz dx =-dydt\)
- \(\star dx dt =dydz\)
- \(\star dy dt =dzdx\)
- \(\star dz dt=dxdy\)
- 전자기 텐서의 dual
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\)
\(\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\)
전류 4-vector
- 미분형식으로 표현하면,
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
- dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)
맥스웰 방정식의 미분형식 표현
- 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다
\(dF=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
\(d{\star F}=\star J\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\), \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\))
- 단위는 \(\mu_0= \varepsilon_0}=c=1\) 이 되도록 선택
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역==
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms
- Introduction to differential forms
- Notes on Electrodynamics
- 슬라이드 Geometrical Concepts in Teaching Electromagnetics
- Maxwell Theory and Differential Forms
- Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms
관련논문
관련도서
\(F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\)
전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
\(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\)
\(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)
\(F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\)
\(\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\)
- 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
- dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)
\(dF=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
\(d{\star F}=\star J\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\), \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\))
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms
- Introduction to differential forms
- Notes on Electrodynamics
- 슬라이드 Geometrical Concepts in Teaching Electromagnetics
- Maxwell Theory and Differential Forms
- Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms
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