"베르누이 미분방정식"의 두 판 사이의 차이

2010년 1월 1일 (금) 21:13 판

\(y'+ P(x)y = Q(x)y^n\)

\(y'+ P(x)y = Q(x)y^n\)

\(y^n\)으로 양변을 나누자.

\(\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x)\)

\(w={y^{-n+1}}\)로 치환하면, \(w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'\)

\(\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)\)를 얻는다.

\({w'} + (1-n)P(x)w = (1-n)Q(x)\) 는 일계 선형미분방정식이 된다.

이제 적분인자 \(\mu(x)=e^{(1-n)\int P(x) dx}\)를 양변에 곱하여 풀 수 있다.

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
+<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n</math>
+<h5>미분방정식의 풀이</h5>
 <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n</math>
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 <math>\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x)</math>
+<math>w={y^{-n+1}}</math>로 치환하면, <math>w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'</math>
+<math>\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)</math>를 얻는다.
-적분인자 <math>\mu(x)=e^{\int P(x) dx}</math>를 양변에 곱하면,
+<math>{w'} + (1-n)P(x)w = (1-n)Q(x)</math> 는 [[일계 선형미분방정식]]이 된다.
-<math>(\mu(x)y^{-n+1})'=\mu(x)Q(x)</math> 를 얻는다.
+이제 적분인자 <math>\mu(x)=e^{(1-n)\int P(x) dx}</math>를 양변에 곱하여 풀 수 있다.