일계 선형미분방정식

수학노트
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개요

  • 미분방정식:<math>\frac{dy}{dx}+a(x)y=b(x)</math>
  • 적분인자를 통하여 해를 구할 수 있다



적분인자를 이용한 미분방정식의 풀이

  • 적분인자 <math>e^{\int a(x)\,dx}</math>를 미분방정식의 양변에 곱하여 다음을 얻는다:<math>y'(x)e^{\int a(x)\,dx}+a(x)y(x)e^{\int a(x)\,dx}=b(x)e^{\int a(x) \, dx}</math>:<math>(y(x)e^{\int a(x)\,dx})'=b(x)e^{\int a(x)\,dx}</math>:<math>y(x)e^{\int a(x)\,dx}=\int b(x)e^{\int a(x)\,dx} \,dx+C</math>



예1

<math>y'(t)+k y(t)=10 k e^{-k t}</math> 의 경우

적분인자 <math>e^{kt}</math>를 양변에 곱하면,

<math>(y(t)e^{kt})'=10 k</math> 를 얻는다.

따라서 <math>y(t)e^{kt}=10 k t +y(0)</math>

<math>y(t)= y(0) e^{-k t}+10 k t e^{-k t}</math>




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  • [{'LOWER': 'linear'}, {'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'equation'}]
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