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<math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정
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<math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분
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* <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화
  
 
 
 
 
  
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* 다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math><br><math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math><br>
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* <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
  
 
 
 
 
  
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*  <br> 다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tanh \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}</math>, <math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}</math>, <math>\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math><br><math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math><br>  <br>
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* <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
  
 
 
 
 
  
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* <math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음
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* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
  
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* <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화
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<h5>삼각치환의 이론적 근거</h5>
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*  유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있기 때문에 삼각치환이 잘 작동한다고 볼 수 있다<br>
  
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* <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
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* 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. <br> 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. <br>
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*  삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다<br>
  
 
 
 
 
  
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<math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정
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* <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
 
  
 
 
 
 
  
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<math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분
  
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* <math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음
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* 다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math><br><math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math><br>
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* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
 
  
 
 
 
 
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*  다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tanh \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}</math>, <math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}</math>, <math>\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math><br><math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math><br><br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5>
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%EC%B9%98%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/삼각치환]
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/trigonometric
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]

2010년 2월 9일 (화) 10:40 판

간단한 소개

\(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분

  • \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화

 

\(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분

  • \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화

 

\(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분

  • \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화

 

\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분

  • \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.

 

 

삼각치환의 이론적 근거
  • 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있기 때문에 삼각치환이 잘 작동한다고 볼 수 있다
  • 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. 
    즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 
  • 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다

 

\(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정

 

\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
    \(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)

 

\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
    \(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)

 

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