삼각치환

수학노트
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개요

  • <math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분
    • <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화
  • <math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분
    • <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
  • <math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분
    • <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
  • <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분
    • <math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)</math> 으로 쓴 다음
  • <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.




삼각치환의 이론적 근거

  • 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
    • 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
    • '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
    • 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다


삼각치환

  • <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정


<math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분

<math>t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
  • 다음을 얻는다
<math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math>


<math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용
<math>t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2},\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math>
  • 다음을 얻는다
<math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math>

역사



관련된 항목들






매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'tangent'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'formula'}]
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