삼각함수

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• 삼각함수

 

 

개요

• 중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장함.
• 삼각함수의 주기성을 이해.
• 여러가지 삼각함수들 사이에서 성립하는 공식들을 이해함.

 

 

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• 피타고라스의 정리
• 삼각비
• 원의 방정식

 

 

중요한 개념 및 정리

• 주기함수
• 덧셈공식
• 삼각함수의 그래프
  
  • 빨강은 사인(Sine), 파랑은 코사인(Cosine), 초록은 탄젠트(Tangent)
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공식

\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)

 

 

덧셈공식

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

\(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)

 

 

배각공식

\(\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta\)

\(\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1\)

\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\)

\(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\)

\(\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\)

• 더 일반적인 경우에 대해서는 삼각함수의 배각공식 표 항목과 체비셰프 다항식 참조

 

 

반각공식

\(\sin^2 \frac{\theta}{2} =\frac{1 - \cos \theta}{2}\)

\(\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)

 

 

삼각함수의 값

\(\cos {\frac{2\pi}{1}} = 1\)

\(\cos {\frac{2\pi}{2}} = -1\)

\(\cos {\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}\)

\(\cos\frac{2\pi}{4}=0\)

\(\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5 -1}{4}\)

• 정오각형, 황금비

\(\cos\frac{2\pi}{6}=\frac{1}{2}\)

\(\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}}{6}\)

• \(x^3 + x^2 - 2 x - 1=0\) 을 풀어야 함

\(\cos\frac{2\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)

• 가우스와 정17각형의 작도

 

\(\cos\frac{2\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{32}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}\)

\(\cos \frac{\pi}{64}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}\)

\(\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)

 

 

삼각함수의 급수 표현

• 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
• 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

 

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

• 베르누이 수 참조

 

 

쌍곡함수

\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\)

 

 

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 미분과 적분
  
  • 삼각함수의 미분과 적분
• 복소수
  
  • 극형식표현

 

관련있는 다른 과목

• 물리학
  
  • 단진동
  • 파동
• 지구과학
  
  • 지구의 크기
• 음악
  
  • 수학과 음악

 

 

관련된 대학교 수학

• 일변수미적분학
• 톨레미의 정리

 

 

재미있는 사실

 

• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 무리수와 초월수
• 삼각함수에는 왜 공식이 많은가?

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos+x
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=