삼각함수

개요

중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장하여 얻어지는 함수
주기성을 가지며 삼각함수들 사이에 많은 공식이 성립
삼각비와 삼각함수의 차이에 대해서는 삼각비에서 삼각함수로 항목을 참조
삼각함수는 다양한 관점에서 이해가능하며, 각 관점에 따라 많은 방식으로 일반화된다
삼각함수가 수학에서 차지하는 중요성을 알기 위해서는 삼각함수의 일반화 항목을 참조

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

사인과 코사인

단위원의 방정식\[x^2+y^2=1\]
원 위에서 각도함수 정의하기 작업을 통해 단위원의 각 점에 해당하는 각도 \(\theta\)를 정의할 수 있다
코사인과 사인함수는 각각 각도 \(\theta\)에 해당하는 단위원의 점의 x-좌표와 y-좌표로 정의된다
단위원의 좌표로 함수가 정의되므로, 다음 공식을 만족시킨다\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\]

탄젠트와 코탄젠트, 시컨트와 코시컨트

\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)

삼각함수의 여러가지 공식들

삼각함수에 공식이 많은 이유는 삼각함수가 단위원의 매개함수로 정의되며, 단위원은 군(group)의 구조를 가지는 다양체이기 때문
- 군의 개념에 대해서는 군론 항목을 참조
더 자세한 사항은 삼각함수에는 왜 공식이 많은가? 항목을 참조

덧셈공식

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\)

\(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)

배각공식

2배각공식과 3배각 공식

\(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)

\(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1\)

\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\)

\(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\)

\(\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\)

더 일반적인 경우에 대해서는 삼각함수의 배각공식 표 항목과 체비셰프 다항식 참조

반각공식

\(\sin^2 \frac{\theta}{2} =\frac{1 - \cos \theta}{2}\)

\(\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)

삼각함수의 값

삼각함수의 값

삼각함수의 급수 표현

사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

베르누이 수 참조

쌍곡함수

쌍곡함수 \[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]

삼각함수 표

http://www.kor.pe.kr/home/ref/sin_cos_tan.htm

역사

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