"삼각함수의 유리수 값"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 25일 (토) 14:36 판

유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
다음이 성립한다
- \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)

[Motose2007]의 증명

서로 소인 정수 m,n>0에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.

\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha^{n}=1\) 이므로, \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.

\(\Phi_n(x) \)는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, \(\alpha\) 의 최소다항식이다.

한편 \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.

따라서 \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.

\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각

\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와

\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
-* [[#]]
+* [[삼각함수의 유리수 값]]
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 * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 * [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
+<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
+*
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+* http://functions.wolfram.com/
+* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
+* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
+* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]