삼각함수의 유리수 값

수학노트
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개요

  • 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>\theta=a\pi</math>일 때, <math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>, <math>\tan \theta</math> 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
  • 다음이 성립한다
    • <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math>
    • <math>\sin \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math>
    • <math>\tan \theta\in \mathbb{Q}</math>이면, <math>\tan \theta = 0,\pm1</math>



증명

[Motose2007]의 증명

서로 소인 정수 m,n>0에 대해, <math>\theta=m\pi/n</math>이고 <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 라 하자.

<math>\alpha = \cos \theta + i \sin \theta </math> 라 두면, <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로, <math>\alpha</math> 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) <math>\Phi_n(x) </math> 의 해가 된다.

<math>\Phi_n(x) </math>는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, <math>\alpha</math> 의 최소다항식이다.

한편 <math>\alpha</math> 는 <math>f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]</math> 의 해이다.

따라서 <math>\varphi(n)\leq 2</math> 가 성립하고 <math>n=1,2,3,4,6</math> 만이 가능하다.

<math>\sin \theta</math>과 <math>\tan \theta</math>에 대해서는 각각

<math>\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta</math>와

<math>\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)</math> 를 이용하여 증명된다. ■




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리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Jahnel, Jörg. 2010. “When Is the (co)sine of a Rational Angle Equal to a Rational Number?” arXiv:1006.2938 (June 15). http://arxiv.org/abs/1006.2938.
  • Dresden, Gregory P. 2009. “A New Approach to Rational Values of Trigonometric Functions.” arXiv:0904.0826 (April 5). http://arxiv.org/abs/0904.0826.
  • [Motose2007]Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818.
  • Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 52 (9) (November 1): 507–508. doi:10.2307/2304540.
  • Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 69 (8) (October 1): 789–793. doi:10.2307/2310783.
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