삼각함수의 유리수 값

개요

• 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
• 다음이 성립한다
  • \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
  • \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
  • \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)

증명

[Motose2007]의 증명

서로 소인 정수 m,n>0에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.

\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha^{n}=1\) 이므로, \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.

\(\Phi_n(x) \)는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, \(\alpha\) 의 최소다항식이다.

한편 \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.

따라서 \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.

\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각

\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와

\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 삼각함수의 값
• 원분다항식(cyclotomic polynomial)
• 오일러의 totient 함수

관련논문

• Jahnel, Jörg. 2010. “When Is the (co)sine of a Rational Angle Equal to a Rational Number?” arXiv:1006.2938 (June 15). http://arxiv.org/abs/1006.2938.
• Dresden, Gregory P. 2009. “A New Approach to Rational Values of Trigonometric Functions.” arXiv:0904.0826 (April 5). http://arxiv.org/abs/0904.0826.
• [Motose2007]Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818.
• Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 52 (9) (November 1): 507–508. doi:10.2307/2304540.
• Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 69 (8) (October 1): 789–793. doi:10.2307/2310783.