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*  다음은 소수정리와 동치이다<br><math>\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x</math><br> (증명)<br><math>\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x</math><br> 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <br><math>\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}</math><br> 따라서 <math>\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x</math> 임을 가정하면, <math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math> 를 얻는다. ■<br>
  
 
 
 
 
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%A0%95%EB%A6%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%A0%95%EB%A6%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula ]http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_tauberian_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem]
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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2011년 10월 8일 (토) 07:00 판

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개요
  • \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.

 

  • 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견하였고, 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 발견되었으며, 그 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)가 발견되었다.

 

 

 

동치명제
  • 다음은 소수정리와 동치이다
    \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\)
    (증명)
    \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\)
    임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, 
    \(\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\)
    따라서 \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\) 임을 가정하면, \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 를 얻는다. ■

 

 

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