"5차방정식과 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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* 방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>이 주어졌다고 가정하자.
 
* 방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>이 주어졌다고 가정하자.
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* 그 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자.
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* <math>K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math><br>
 
* <math>K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math><br>
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이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 
 
이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 
  
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(1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 radical 확장 <math>R</math>이 존재하여, 
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(1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 radical 확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math>이 존재하여
  
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(2) <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math>에 대하여 <math>v=v_0+u+v_2u^2+v_3u^3+v_4u^4</math> 형태로 표현가능하다.
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(2) <math>v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}</math> 형태로 표현가능하다.
  
 
 
 
 
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정리 2.
 
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<math>v_0,v_2,v_3,v_4,u^5 \in R</math> 는 
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 <math>v_0,v_2,v_3,v_4</math>과 <math>\sqrt[5]\rho</math> 는 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현할 수 있다.
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아벨정리
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2010년 1월 31일 (일) 19:32 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

증명의 개요
  • We start from the field of symmetric functions.
  • Essentially, we are studying the radical extension of that base field.
  • The proof is consisted of two steps.
  • radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots
  • the behavior of radicals under permutations

 

 

오차방정식
  • 방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)이 주어졌다고 가정하자.
  • 그 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

 

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)

 

정리 1. 

이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 radical 확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\)이 존재하여

(2) \(v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

예)

 

 

정리 2.

 \(v_0,v_2,v_3,v_4\)과 \(\sqrt[5]\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

아벨정리

 

 

 

 

 

 

solvable in radicals

 

 

 

Monodromy proof

Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).

For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.

These are the branch points and determines the Riemann surfaces.

Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.

(This is a little different from the Galois group.)

We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

 

 

regular proof

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

일반적인 n차 방정식

 

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

링크

 

 

관련논문
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