"5차방정식과 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br>[[2차 방정식의 근의 공식|]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math> 의 해를 <math>x_1,x_2</math>라 하면, <math>\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2</math> 이다. <br>  <br>
 
* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br>[[2차 방정식의 근의 공식|]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math> 의 해를 <math>x_1,x_2</math>라 하면, <math>\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2</math> 이다. <br>  <br>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br><br>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br>
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<math>K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)</math>의 원소 <math>u,a</math>가 <math>u^p= a</math> 를 만족시킨다고 하자. a가 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이면. 
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체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
 
체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
  
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 <math>F</math>의 radical 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 위의 조건을 만족시킨다고 하자. 
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 <math>F</math>의 radical 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다.
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적당한 소수 p 에 대하여 의 radical 체확장 <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math> 인 간단한 경우에 대하여 생각해보자.
 
  
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정리 0을 사용하여, 
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귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. 
  
 
 
 
 
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* [[갈루아 이론]]<br>
 
* [[갈루아 이론]]<br>
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Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.
 
Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.
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(This is a little different from the Galois group.)
 
  
 
We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.
 
We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

2010년 1월 31일 (일) 20:18 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

증명의 개요
  • We start from the field of symmetric functions.
  • Essentially, we are studying the radical extension of that base field.
  • The proof is consisted of two steps.
  • radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots
  • the behavior of radicals under permutations

 

 

 

 

radical 체확장
  • 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in F\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 radical 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.

 

 

정리 0

소수 p 에 대하여 \(F\)의 radical 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) \(\rho \in R\) 과  \(v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여, 

(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

 

오차방정식
  • 방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)이 주어졌다고 가정하자.
  • 그 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

 

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)

 

 

정리 1. 

이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 radical 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\)이 존재하여

(2) \(v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

예)

 

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

 

 

정리 2. (theorem of natural irrationalities)

 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

 

 

 

정리 3.

\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인  F의 radical 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

(증명)

 

보조정리

\(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)\)의 원소 \(u,a\)가 \(u^p= a\) 를 만족시킨다고 하자. a가 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이면. 

 ■

 

 

 

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

 \(F\)의 radical 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다.

귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

 

■

 

아벨정리의 증명.

 

 

 

 

 

 

Monodromy proof

Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).

For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.

These are the branch points and determines the Riemann surfaces.

Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.

We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

 

 

regular proof

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

일반적인 n차 방정식

 

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

사전 형태의 자료

 

 

링크

 

 

관련논문
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