아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

간단한 소개

• \(k>1\)인 정수에 대하여, weight 2k의 아이젠슈타인급수는 다음과 같이 정의됨.
  \(G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)
  만약 이 정의에서 반드시 짝수가 아닌 정수 \(k>1\)에 대해 \(G_k\)를 같은 방식으로 정의했다면, k가 홀수인 경우는  \(G_k=0\)가 됨.
   \(m+n\tau\)와  \(-m-n\tau\) 가 서로 상쇄
  

 

예

 

\(G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]\)   

\(G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]\)

 

 

 

 

모듈라 성질

\(G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)\)

 

 

 

 

푸리에 전개의 유도

 

모듈라 형식이 되기 위해서는 cusp에서의 growth 조건 즉, \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개가 필요하며 이는 다음과 같이 주어짐

\(G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\)

\(c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}\), \(\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\)

 

 

(증명)

\(G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)인 경우

\( \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)

\(=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}+\frac{1}{(m-n\tau )^{2k}}\) 

\(=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)

여기서 코탄젠트 항목에서 얻어진 다음 항등식을 이용하면, 푸리에 급수를 계산할 수 있다.

\(\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)

여기서 미분을 반복하면, 

\(-\frac{1}{\tau^2}-\sum_{m\neq0}\frac{1}{(\tau+m)^2 }=-\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^2 }= -(2\pi i)^2 \sum_{r=1}^{\infty}re^{2\pi i r \tau}\)

\(2\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^3 }= -(2\pi i)^3 \sum_{r=1}^{\infty}r^2e^{2\pi i r \tau}\)

\(-3! \sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^4 }= -(2\pi i)^4 \sum_{r=1}^{\infty}r^3e^{2\pi i r \tau}\)

 

 

 

Normalized 아이젠슈타인급수

\(E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\)

\(E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}\)

\(E_6(\tau)=1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

역사

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참고할만한 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/아이젠슈타인
• http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series
• http://www18.wolframalpha.com/input/?i=Eisenstein+series
• http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
• http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
• 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
• 네이버 오늘의과학

 

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