코탄젠트

개요

• 삼각함수 의 하나
• 주기가 <math>\pi</math>인 주기함수
• 정의 :<math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} </math>
• 복소함수로서의 유용한 성질은 데데킨트 합 , 왓슨 변환(Watson transform) 등에 이용할 수 있다

함수의 그래프

미분과 적분

• 미분 :<math>\frac{d}{dx}\cot x= -\csc^2 x </math>
• 부정적분 :<math>\int \cot x dx = \log \sin x+C</math>

코탄젠트의 테일러급수

<math>\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>

<math>\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}</math>

• 정수에서의 리만제타함수의 값

복소함수 코탄젠트의 유용한 성질

• <math>\cot (\pi z)</math> 는 정수점에서 simple pole 을 가지며, residue 는 <math>z={1}/{\pi}</math>이다.
• 다음의 극한값을 갖는다

<math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math>

• <math>\cot (\pi z)</math>는 원점을 중심으로 반지름이 <math>R=n+1/2</math> 인 원 위에서 유계이며, 이 때 특별히 <math>0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)\right |^2\leq 2</math> 가 성립함. (<math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math>)

코탄젠트의 부분분수 전개

<math>\pi \cot \pi\tau=\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m}</math>

코탄젠트의 푸리에급수

<math>\cot \pi\tau=-i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})</math>

(증명)

<math>\cot \pi\tau=\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}</math>

<math>q=e^{2\pi i \tau}</math> 로 두자.

<math>\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)</math>■

(따름정리)

코탄젠트의 푸리에급수와 부분분수 전개를 비교하여, 다음을 얻는다.

<math>\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})</math>

정적분

• 로그 사인 적분 (log sine integrals)

<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cot x dx =- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t)dt =\frac{\pi}{2}\ln 2</math>

<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\cot x dx = -2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x \ln (\sin x)dx=\frac{\pi^2}{4}\ln 2-\frac{7}{8} \zeta(3)</math>

<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^3\cot x dx = -3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2 \ln (\sin x)dx=\frac{\pi^3}{8}\ln 2-\frac{9}{16} \zeta(3)</math>

<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cot x dx =\frac{G}{2}+\frac{\pi}{8}\log 2</math>

<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^2\cot x dx =-\frac{35}{64}\zeta(3)+\frac{\pi G}{4}+\frac{\pi^2}{32}\log 2</math>

여기서 G는 카탈란 상수)

역사

• 수학사 연표

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 삼각함수

관련된 항목들

• 데데킨트 합
• 베르누이 수와 베르누이 다항식
• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
• ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
• 로그 사인 적분 (log sine integrals)

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Cotangent
• http://www.wolframalpha.com/

메타데이터

위키데이터

• ID : Q93344

Spacy 패턴 목록

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