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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
 
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* [[연속 방정식]]
  
 
 
 
 
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<h5>맥스웰 방정식과 연속방정식</h5>
 
<h5>맥스웰 방정식과 연속방정식</h5>
  
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* [[맥스웰 방정식]]
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* [[맥스웰 방정식]] 으로부터 연속방정식을 유도할 수 있다
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* 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
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* 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자
  
 
<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 에 divergence 연산자를 적용하여,
 
<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 에 divergence 연산자를 적용하여,
  
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<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}</math>
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<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}</math>
  
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<math> \nabla \cdot \mathbf{B} + \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0</math>
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<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0</math>
  
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가우스 법칙 <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math> 을 적용하면,
  
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<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math> 을 얻는다.
  
 
 
 
 
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* [[맥스웰 방정식]]
 
* [[맥스웰 방정식]]
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* 확산 방정식
  
 
 
 
 

2012년 6월 11일 (월) 04:07 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 국소적인 보존(local conservation) ~ 연속방정식
  • \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\)
  • 싱크와 소스가 있는 경우는 약간의 수정이 필요함

 

 

notation
  • Q  : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
  • \(\rho\) : charge density (density of some abstract fluid)
    • \(\rho\) 가 상수인 경우, fluid를 incompressible이라 한다
  • \(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) : current density (velocity x charge density)
  • V : arbitrary  three dimensional region bounded by the closed surface S

 

 

local conservation
  • V 내부에서 Q가 줄어드는 비율
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV\)
  • Q-current 의 곡면 S에 대한 flux
    \(\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
  • local conservation 은 두 양이 같음을 의미함
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
  • 우변에 발산 정리(divergence theorem) 를 적용하면,
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV\)
  • 임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다
    \(\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0\)
  • 이를 연속방정식이라 부른다
  • \(\rho=j_0\) 로 두어, \(\mathbf{j}=(j^0,j^1,j^2,j^3)\) 에 대하여 \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\) 의 형태로 쓰기도 한다

 

 

보존량
  • V : \(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) 이 되도록 하는 충분히 큰 공간
  • total electric charge 또는 total mass in fluid 에 대한 다음과 같은 보존법칙을 얻는다
    \(Q(t)=\int_V \rho \,dV\) 는 일정하다
    또는
    \(\frac{dQ}{dt}=0\)

 

 

맥스웰 방정식과 연속방정식
  • 맥스웰 방정식 으로부터 연속방정식을 유도할 수 있다
  • 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
  • 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \) 에 divergence 연산자를 적용하여,

\(\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\)

\( \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\)

가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) 을 적용하면,

\( \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\) 을 얻는다.

 

 

역사

 

 

 

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