연속 방정식

수학노트
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개요

  • 국소적인 보존(local conservation) ~ 연속방정식
  • <math>\partial_{\mu} j^{\mu}=0</math>
  • 싱크와 소스가 있는 경우는 약간의 수정이 필요함


notation

  • Q  : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
  • <math>\rho</math> : charge density (density of some abstract fluid)
    • <math>\rho</math> 가 상수인 경우, fluid를 incompressible이라 한다
  • <math>\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)</math> : current density (velocity x charge density)
  • V : arbitrary three dimensional region bounded by the closed surface S



local conservation

  • V 내부에서 Q가 줄어드는 비율:<math>-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV</math>
  • Q-current 의 곡면 S에 대한 flux:<math>\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}</math>
  • local conservation 은 두 양이 같음을 의미함:<math>-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}</math>
  • 우변에 발산 정리(divergence theorem) 를 적용하면,:<math>-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV</math>
  • 임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다:<math>\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0</math>
  • 이를 연속방정식이라 부른다
  • <math>\rho=j_0</math> 로 두어, <math>\mathbf{j}=(j^0,j^1,j^2,j^3)</math> 에 대하여 <math>\partial_{\mu} j^{\mu}=0</math> 의 형태로 쓰기도 한다



보존량

  • V : <math>\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)</math> 이 되도록 하는 충분히 큰 공간
  • total electric charge 또는 total mass in fluid 에 대한 다음과 같은 보존법칙을 얻는다:<math>Q(t)=\int_V \rho \,dV</math> 는 일정하다 또는:<math>\frac{dQ}{dt}=0</math>



맥스웰 방정식과 연속방정식

  • 맥스웰 방정식 으로부터 연속방정식을 유도할 수 있다
  • 전하 밀도<math>{\rho} </math> (for point charge, density will be a Dirac delta function)
  • 전류 밀도<math>\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)</math>
  • 전류 4-vector:<math>(j^a) = \left( c \rho, \mathbf{J} \right)</math>
  • 4-vector gradient:<math> \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) </math>
  • 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.

증명

앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자

<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 에 divergence 연산자를 적용하여,
<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}</math>
<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0</math>


가우스 법칙

<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math> 을 적용하면,
<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math> 을 얻는다.

이는 <math>\partial_{\mu} j^{\mu}=0</math> 로 쓸 수 있다



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  • [{'LOWER': 'continuity'}, {'LEMMA': 'equation'}]
  • [{'LOWER': 'equation'}, {'LOWER': 'of'}, {'LEMMA': 'continuity'}]
  • [{'LOWER': 'continuity'}, {'LEMMA': 'equation'}]
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