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그러므로 모든 유수의 합은 <math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>
 
그러므로 모든 유수의 합은 <math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
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<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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<h5>관련도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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<h5>링크</h5>
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*  구글 블로그 검색<br>
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2011년 7월 16일 (토) 07:54 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

 

 

 

개요
  • 유수정리(residue theorem) 의 응용
  • 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
    \(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \cot (\pi z) \, dz=\sum g(n)\)
    여기서 \(\sum\) 는 D에 있는 정수점 위의 합

 

 

코탄젠트의 성질
  • \(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)

 

 

응용 : 리만제타함수의 정수에서의 값

\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. \(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원

이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면,  \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는  \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다. 

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\)

 

 

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