"왓슨 변환(Watson transform)"의 두 판 사이의 차이

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<math>g(z)=\frac{1}{z^4+a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
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<math>g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
  
 
 <math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}+a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4+a^4}</math>
 
 <math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}+a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4+a^4}</math>
  
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우변의 <math>-\pi^{4}/45</math>는<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0에서의 유수(residue)이다.
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우변의 <math>-\pi^{4}/45</math>는의 0에서의 유수(residue)이다.
  
 
<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>([[코탄젠트]] 참조)
 
<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>([[코탄젠트]] 참조)
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반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
 
반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
  
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<math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>. ■
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<math>2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{4}+a^4}=0</math>
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* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]  에 응용할 수 있다<br>
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]  에 응용할 수 있다<br>

2011년 7월 19일 (화) 10:39 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 유수정리(residue theorem) 의 응용
  • 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
    \(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
    여기서 \(\sum\) 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합

 

 

복소함수 코탄젠트의 성질
  • \(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)
  • 반지름이 \(R=n+1/2\) 인 원 위에서 유계이며, 특히 \(0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right\) 가 성립함. (\(n\in \mathbb{N}\), \(t\in \mathbb{R}\))

 

 

 

응용 

\(g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}\)로 두고, 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.

 \(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}+a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4+a^4}\)

\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}+a^4}\) 의

우변의 \(-\pi^{4}/45\)는의 0에서의 유수(residue)이다.

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.

\(2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{4}+a^4}=0\)

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