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*  단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다<br><math>\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)</math><br> 여기서 <math>\sum</math> 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합<br>
 
*  단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다<br><math>\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)</math><br> 여기서 <math>\sum</math> 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합<br>
 
* g 가 meromorphic 함수인 경우, 우변의 합에 적당한 유수를 더하여 사용할 수 있다
 
* g 가 meromorphic 함수인 경우, 우변의 합에 적당한 유수를 더하여 사용할 수 있다
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*  다음과 같은 정리가 성립하<br><math>\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)</math><br>
  
 
 
 
 
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* [[코탄젠트]] 에서 가져옴<br>
 
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* 정수점에서 pole 을 가진다<br>
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* <math>\cot (\pi z)</math> 는 정수점에서 pole 을 가진다<br>
 
* <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math><br>
 
* <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math><br>
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* 반지름이 <math>R=n+1/2</math> 인 원 위에서 유계이며, 특히 <math>0\leq \left|\cot \left(\pi  R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right</math> 가 성립함. (<math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math>)<br>
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* <math>\cot (\pi z)</math>는 원점을 중심으로 반지름이 <math>R=n+1/2</math> 인 원 위에서 유계이며, 특히 <math>0\leq \left|\cot \left(\pi  R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right</math> 가 성립함. (<math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math>)<br>
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2011년 11월 10일 (목) 09:26 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 유수정리(residue theorem) 의 응용
  • 정수점에서의 함수의 합을 복소함수의 적분을 통하여 표현
  • 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
    \(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
    여기서 \(\sum\) 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합
  • g 가 meromorphic 함수인 경우, 우변의 합에 적당한 유수를 더하여 사용할 수 있다
  • 다음과 같은 정리가 성립하
    \(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)

 

 

복소함수 코탄젠트의 유용한 성질
  • \(\cot (\pi z)\) 는 정수점에서 pole 을 가진다
  • \(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)
  • \(\cot (\pi z)\)는 원점을 중심으로 반지름이 \(R=n+1/2\) 인 원 위에서 유계이며, 특히 \(0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right\) 가 성립함. (\(n\in \mathbb{N}\), \(t\in \mathbb{R}\))

 

 

 

응용 

정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자. 다음 등식이 성립한다.

\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}=\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}\)

 

(증명)

\(g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}\)로 두고, 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.

 \(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}\)

여기서 우변에 더해진 항은\(\{-a,-i a,i a,a\}\) 에서 \(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}\)유수의 합이다.

반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.

따라서

\(-\frac{1}{a^4}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}=0\) 를 얻는다. ■

  • 정수에서의 리만제타함수의 값  에 응용할 수 있다
    \(\lim_{a\to 0}\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}=\frac{\pi ^4}{90}\)
    여기서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\) 를 얻는다.
     

 

 

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