"점화식, 미분방정식, 선형대수학"의 두 판 사이의 차이

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[[07 점화식]]
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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<math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식
 
<math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식
  
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점화식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
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점화식을 만족시키는 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
  
 
 
 
 
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<math>ay''+by'+cy=0</math>
 
<math>ay''+by'+cy=0</math>
  
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초기값을 가지는 이계 선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
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선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
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* [[선형점화식]]<br>
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]<br>
  
 
 
 
 
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벡터공간
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
  
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<math>f(0)=f(\pi)=0</math> 을 만족시키는 <math>[0,\pi]</math>에서 정의된 함수공간
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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내적
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
  
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<math>(f,g)=\int_0^{\pi}f(x)g(x)\,dx</math>
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선형사상
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
  
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<math>L[y]=y''</math>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
  
 
 
 
 
  
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(정리)
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
  
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<math>L[y]=y''</math>은 Hermitian operator 이다.
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즉 <math>(L[f],g)=(f'',g)=(f,g'')=(f,L[g])</math>
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(증명)
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  
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<math>(Lf,g)=\int_0^{\pi}f''(x)g(x)\,dx=[f'(x)g(x)]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}f'(x)g'(x)\,dx=-[f(x)g'(x)]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}f(x)g''(x)\,dx=(f,Lg)</math>
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http://www.wolframalpha.com/input/?i=+sin+3x+*+sin+4x+
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
  
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[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0%5E%28pi%29+1/2+%28cos%28x%29-cos%287+x%29%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^(pi)+1/2+(cos(x)-cos(7+x))+dx]
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*  구글 블로그 검색<br>
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

2011년 8월 1일 (월) 15:18 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

선형점화식

\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식

점화식을 만족시키는 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

 

특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

수열 \(\alpha^{n}\)와 \(\beta^{n}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}\) 꼴로 주어진다.

 

특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우

수열 \(\alpha^{n} \)와 \(n\alpha^{n} \)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 \(a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}\) 꼴로 주어진다.

(증명)

수열 \(n\alpha^{n} \)이 점화식의 해가 되는지를 확인하면 된다.

\(p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0\)

여기서 \(px^2 + qx + r = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0\)이다.

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상수계수 이계 선형미분방정식

\(ay''+by'+cy=0\)

선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

 

특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(e^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}\) 꼴로 주어진다.

 

특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 중근을 \(\alpha\) 를 갖는 경우.

 

함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(te^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

 

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}\) 꼴로 주어진다.

 

 

(증명)

\(ax^2 + bx + c = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0\)이다.

\(y(t) = te^{\alpha t}\) 라 하자.

\(y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}\)

\(y''(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}\)

미분방정식에 대입하면,

\(ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0\) ■

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

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