상수계수 이계 선형미분방정식

개요

함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(e^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

(두 함수의 론스키안(Wronskian) 은 \(e^{t (\alpha +\beta )} (-\alpha +\beta )\) 이다)

따라서 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}\) 꼴로 주어진다.

함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(te^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}\) 꼴로 주어진다.

\(ax^2 + bx + c = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0\)이다.

\(y(t) = te^{\alpha t}\) 라 하자.

\(y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}\)

\(y''(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}\)

미분방정식에 대입하면,

\(ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0\) ■