"차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)"의 두 판 사이의 차이
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2010년 8월 31일 (화) 03:10 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
- finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
- 미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
- 계차수열 ~ 미분
- 부분합 ~ 적분
계차수열
F, f 는 다음 조건을 만족하는 두 수열이다.
\(\Delta F=f\) 즉 \(f(n)=F(n+1)-F(n)\)
미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 \(\Delta F=f\) 로 표현하자.
수열의 합
수열 f 에 대하여
\(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\)
는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다
Calculus of Finite Dfference의 기본정리
두 수열 F, f 가 \(\Delta F=f\)를 만족하면,
\(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\)
가 성립한다.
증명
\(F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)\)
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표준적인 도서 및 추천도서
위키링크
관련논문
- The Finite Calculus
- From the book 'A Primer of Analytic Number Theory' 1.2
- Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers
- Lee Zia
- The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300
- Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives
- Gilbert Strang
- The College Mathematics Journal, Vol. 21, No. 1 (Jan., 1990), pp. 20-27
- An Elementary Exposition of the Theory of Finite Differences
- Saul Epsteen
- The American Mathematical Monthly, Vol. 11, No. 6/7 (Jun. - Jul., 1904), pp. 131-136
- Telescoping Sums and the Summation of Sequences
- G. Baley Price
- The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 4, No. 2 (Spring, 1973), pp. 16-29
- The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations
- Vito Lampret
- Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
- An Euler Summation Formula
- Irwin Roman
- The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21