미적분학의 기본정리

수학노트
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개요

  • 적분과 미분의 관계
  • 미적분학의 기본정리는 다변수 미적분학에서 선적분의 기본정리, 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등으로 확장
  • 미분형식에 대한 스토크스 정리로 확장됨




미적분학의 기본정리

<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)</math> 이면 <math>\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)</math>



선적분의 기본정리

  • 1-form 과 0-form:<math>\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)</math> or:<math>\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)</math> 여기서 <math>C</math>는 <math>P_0</math>를 시작점, <math>P_1</math>을 끝점으로 갖는 곡선



곡면에 대한 스토크스의 정리

  • 2-form 과 1-form:<math>\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}</math>



그린 정리

  • 스토크스 정리의 특수한 경우:<math>\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)</math>
  • 그린 정리



가우스의 발산 정리

  • 3-form과 2-form:<math>\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S </math> 여기서:<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }</math>
  • 발산 정리(divergence theorem)




가장 일반적인 형태의 스토크스 정리


[1]

역사



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사전형태의 참고자료




관련논문

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  • [{'LOWER': 'divergence'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
  • [{'LOWER': 'gauss'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]
  • [{'LOWER': 'ostrogradsky'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]
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