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<h5>q-초기하급수</h5>
 
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*  초기하급수의 q-analogue<br><math>\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} ; q,z \right] </math> <math>=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a_1;q)_n(a_2;q)_n\cdots (a_{j};q)_n} {(q;q)_n(b_1;q)_n,\cdots (b_k,q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n</math><br>
 
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* q-hypergeometric 또는 basic hypergeometric 급수로 불림
 
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<h5>q-초기하급수의 예</h5>
 
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<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
 
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<math>\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
 
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<math>R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}</math>
 
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<math>H(q)=R(q)</math>
 
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<math>G(q)=R(1)</math>
 
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* <math>j=k=0</math>, <math>z=-q^{\frac{1}{2}}</math> 인 경우
 
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<math>G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} =
 
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\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}
 
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  =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots</math>
 
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* <math>j=k=0</math>, <math>z=-q^{\frac{3}{2}}</math> 인 경우<br><math>H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} =
 
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\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}
 
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=1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots</math><br>
 
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* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]] 참조
 
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<h5>자코비 triple product 공식</h5>
 
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<math>\sum_{n=-\infty}^\infty  z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty  \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)</math>
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">Heine's theorem</h5>
 
  
 
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<h5>상위 주제</h5>
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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* Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨
  
 
 
 
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)|Hypergeometric differential equations]]
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* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]
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* [[자코비 세타함수]]
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]
 
* [[슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)|Schwarz-Christoffel mappings]]
 
* [[슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)|Schwarz-Christoffel mappings]]
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* [[3004476|로저스-라마누잔 항등식]]
 
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
  
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* [http://books.google.com/books?id=31l4uC7lqGAC&dq=Gasper,+George;+Rahman,+Mizan+(2004),+Basic+hypergeometric+series Basic hypergeometric series]<br>
 
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** Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), 
 
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* [http://www.amazon.com/B-Marko-Petkovsek/dp/1568810636 A=B]<br>
 
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** Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, AK Peters, Ltd, 1996-1
 
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** http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html
 
 
* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br>
 
** Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
 
** Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
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<h5>관련논문</h5>
 
<h5>관련논문</h5>
  
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* [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"]<br>
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*  <br>
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** George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573. 
 
  
 
 
 
 
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<h5>참고할만한 자료</h5>
 
<h5>참고할만한 자료</h5>
  
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* [http://dx.doi.org/10.1137/1016081 Applications of Basic Hypergeometric Functions]<br>
 
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** George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
 
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** This paper surveys recent applications of basic hypergeometric functions to partitions, number theory, finite vector spaces, combinatorial identities and physics.
 
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EA%B8%B0%ED%95%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EA%B8%B0%ED%95%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Basic_hypergeometric_series
 
 
* http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=

2009년 9월 18일 (금) 19:15 판

간단한 소개
  • 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함. 즉,
    \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우

 

 

정의

계수의 비가 유리함수이므로 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 주어지는 경우,

\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)

where c and d are the leading coefficients of A and B

급수는 다음과 같이 주어진다.

\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)

변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)

Pochhammer 기호 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)

를 사용하면 좀더 간결한 다음과 같은 표현을 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)


가우스의 초기하함수

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)

미분방정식

\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)

을 만족시킴.

 

 

예
  • 지수함수
    \(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\)
    \(\beta_n = \frac{1}{n!}\)
    \(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)
  • \((1-z)^{-a}=F(a,1;1;z)\)
  • \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)
  • \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

타원적분과 초기하급수

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)


Clausen 항등식

\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)

 


상위 주제

 

 

 

하위페이지

 

 

재미있는 사실
  • Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨

 

 

많이 나오는 질문과 답변

 

 

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관련논문
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