"타원곡선 y²=x³-x"의 두 판 사이의 차이
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* [[타원곡선의 주기]] 의 공식을 이용하기 위해 <math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자 | * [[타원곡선의 주기]] 의 공식을 이용하기 위해 <math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자 | ||
2011년 3월 23일 (수) 10:19 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
- square lattice
- x\to -x and y\to iy is a symmetry
- complex multiplication
판별식과 conductor
- 판별식 \(\Delta=64\)
- conductor \(N=32\)
실수해
[/pages/2061314/attachments/2299029 ]
유리수해
- \(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
- rank 는 0
주기(periods)
- 타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 \(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
- 주기는 다음과 같이 주어진다
\(\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
\(\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\) - 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
\(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
\(2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\) - 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx
유한체에서의 해의 개수
- 유한체에서의 해의 개수
\(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
\(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
\(a_p=p+1-M_p\) - 아래 표 참조
제타함수
- 대수적다양체의 제타함수 항목 참조
- 로컬제타함수
\(p\neq 2\) 인 경우
\(Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\)
\(p= 2\)인 경우
\(Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}\)
모듈라 형식
- 모듈라 형식
\(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)
\(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수 - 표
\( \begin{array}{ccc} {p} & {a_p} & {c_p} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} \)
- 타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조
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역사
메모
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수학용어번역
사전 형태의 자료
-
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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