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* <math>\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})</math> | * <math>\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})</math> | ||
* 파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 <math>\mathbf{p}-e\mathbf{A}</math> 를 <math>\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})</math> 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다<br><math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle </math><br><math>i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix} =\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} </math><br> | * 파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 <math>\mathbf{p}-e\mathbf{A}</math> 를 <math>\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})</math> 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다<br><math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle </math><br><math>i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix} =\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} </math><br> | ||
| − | * <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math><br> (증명)<br> 일반적으로 <math>(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})</math> 이 성립한다.<br><math>(\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p}</math><br><math>(\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi</math> | + | * <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math><br> (증명)<br> 일반적으로 <math>(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})</math> 이 성립한다.<br><math>(\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p}</math><br><math>(\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi</math> (<math>\mathbf{p}\times \mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}</math>) <br> 따라서 <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math><br> ■<br> |
* 따라서 파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있다<math>\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}</math> | * 따라서 파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있다<math>\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}</math> | ||
2012년 3월 5일 (월) 07:58 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식
- 다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자
- 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
- 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
- 맥스웰 방정식 참조
- 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓰여진다
\(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi\)
파울리
- \(\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})\)
- 파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 \(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\) 를 \(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})\) 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다
\(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle \)
\(i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix} =\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} \) - \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\)
(증명)
일반적으로 \((\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})\) 이 성립한다.
\((\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p}\)
\((\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi\) (\(\mathbf{p}\times \mathbf{A} =\nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}\))
따라서 \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\)
■
- 따라서 파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있다\(\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}\)
- http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=407424
역사
메모
- Hladik Spinors in Physics 4.2.2.
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_equation
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/