미분연산자

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개요

미분연산자

  • \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\)
  • \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\)
  • \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)
  • 라플라시안 \(\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)\)
    • 조화함수 : 라플라시안이 0 인 함수.



미분연산자 사이의 관계

  • \(\text{function}\overset{\nabla}{\rightarrow }\text{vector } \text{field}\overset{\nabla \times}{\rightarrow }\text{vector } \text{field}\overset{\nabla \cdot}{\rightarrow }\text{function}\)
  • \((\nabla \times)\circ \nabla=0\)
  • \((\nabla \cdot)\circ (\nabla \times)=0\)
  • \(\nabla \times (\nabla f)=0\)
  • \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0\)
  • \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)



드람 코호몰로지(de Rham cohomology)

  • \(\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}\)




역사

  • 맥스웰과 curl 이라는 용어의 기원 Review: Maxwell Texts and Contexts 참조
  • 다변수미적분학의 curl 이라는 개념은 벡터장의 회전을 기술한다. 물리학자 맥스웰이 이름지은 것으로 전해지며, 그가 curl 이라는 단어에 도달하기 전에 고민했던 대안적인 단어들은 twist, turn, twirl
  • 다변수미적분학의 divergence는 국소적으로 벡터장의 들어오고 나감을 측정. 맥스웰은 convergence라 불렀는데, 헤비사이드가 부호를 바꾸고 divergence라는 용어를 사용, 표준이 되었다 [1]http://bit.ly/7tiREI
  • A History of Vector Analysis Michael J. Crowe
  • 수학사 연표



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