"푸리에 변환"의 두 판 사이의 차이

2011년 12월 9일 (금) 14:13 판

아벨군 \(G\)과 불변측도, 캐릭터 \(\chi:G\to \mathbb{C}\)그 위에 정의된 함수 \(f:G \to \mathbb C\), 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의
\(\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg\)

\(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우

\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

리 아벨군으로서의 \(G=(\mathbb{R}, +)\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의
\(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)

\(f(x)=e^{-\alpha x^2}\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}\)

\(f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}\)

\(G=(\mathbb{R^{+}}, *)\), \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의
\(\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\)
감마함수의 정의, 리만제타함수, 디리클레 L-함수의 해석적확장에 활용
ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙

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 <h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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+* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMDcyMWVlNzQtNTMwYi00MDRjLWI2NjQtNWFlZjFmZGM1YjE0&sort=name&layout=list&num=50
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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