푸리에 변환

수학노트
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개요

  • 아벨군 <math>G</math>과 불변측도, 캐릭터 <math>\chi:G\to \mathbb{C}</math>그 위에 정의된 함수 <math>f:G \to \mathbb C</math>, 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의:<math>\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg</math>



유한아벨군의 경우

  • <math>G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>의 경우
<math>\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}</math>

여기서 <math> \zeta = e^{2\pi i/N}</math>


푸리에변환

  • 리 아벨군으로서의 <math>G=(\mathbb{R}^n, +)</math> 과 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의
<math>\hat{f}(\mathbf{\xi}) := \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) e^{- 2\pi i \mathbf{x}\cdot \mathbf{\xi}}\,d\mathbf{x}</math>


1차원 푸리에 변환의 예

<math>

\begin{array}{c|c} f(x) & \hat{f}(\xi) \\ \hline e^{\alpha \left(-x^2\right)} & \frac{\sqrt{\pi } e^{-\frac{\pi ^2 \xi ^2}{\alpha }}}{\sqrt{\alpha }} \\ e^{i \pi \left(\tau x^2+2 x z\right)} & \frac{e^{-\frac{i \pi (z-\xi )^2}{\tau }}}{\sqrt{-i \tau }} \end{array} </math>


2차원 푸리에 변환의 예

<math>

\begin{array}{c|c} f(x) & \hat{f}(\xi) \\ \hline e^{-\pi t \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right)} & \frac{2 e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}}}{\sqrt{3} t} \end{array} </math>



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  • [{'LEMMA': 'FT'}]
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