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* 아벨군 <math>G</math>과 불변측도, 캐릭터 <math>\chi:G\to \mathbb{C}</math>그 위에 정의된 함수 <math>f:G \to \mathbb C</math>, 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg</math><br> | * 아벨군 <math>G</math>과 불변측도, 캐릭터 <math>\chi:G\to \mathbb{C}</math>그 위에 정의된 함수 <math>f:G \to \mathbb C</math>, 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg</math><br> | ||
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* <math>G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>의 경우 | * <math>G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}</math>와 준동형사상 <math>f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}</math>의 경우 | ||
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* 리 아벨군으로서의 <math>G=(\mathbb{R}, +)</math> 과 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br> | * 리 아벨군으로서의 <math>G=(\mathbb{R}, +)</math> 과 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br> | ||
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| − | + | ==멜린 변환== | |
* <math>G=(\mathbb{R^{+}}, *)</math>, <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br> | * <math>G=(\mathbb{R^{+}}, *)</math>, <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br> | ||
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| − | + | ==재미있는 사실== | |
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| − | + | ==역사== | |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[유한군의 표현론]]<br> | * [[유한군의 표현론]]<br> | ||
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| − | + | ==관련도서 및 추천도서== | |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
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| − | + | ==사전형태의 자료== | |
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| − | + | ==관련기사== | |
* [http://www.segye.com/Articles/News/Society/Article.asp?aid=20070322001256&ctg1=09&ctg2=00&subctg1=09&subctg2=00&cid=0101080900000&dataid=200703221220000054 [생활속과학원리찾기]푸리에 변환은 어떻게 쓰일까]<br> | * [http://www.segye.com/Articles/News/Society/Article.asp?aid=20070322001256&ctg1=09&ctg2=00&subctg1=09&subctg2=00&cid=0101080900000&dataid=200703221220000054 [생활속과학원리찾기]푸리에 변환은 어떻게 쓰일까]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 14:27 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
- 아벨군 \(G\)과 불변측도, 캐릭터 \(\chi:G\to \mathbb{C}\)그 위에 정의된 함수 \(f:G \to \mathbb C\), 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의
\(\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg\)
유한아벨군의 경우
- \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우
\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)
여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)
- 가우스합에의 응용
- 유한아벨군과 푸리에변환 항목에서 다루기로 함
푸리에변환(실수의 경우)
- 리 아벨군으로서의 \(G=(\mathbb{R}, +)\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의
\(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)
푸리에 변환의 예
\(f(x)=e^{-\alpha x^2}\)
\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}\)
\(f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)\)
\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}\)
멜린 변환
- \(G=(\mathbb{R^{+}}, *)\), \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의
\(\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\) - 감마함수의 정의, 리만제타함수, 디리클레 L-함수의 해석적확장에 활용
- ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
재미있는 사실
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMDcyMWVlNzQtNTMwYi00MDRjLWI2NjQtNWFlZjFmZGM1YjE0&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
수학용어번역
사전형태의 자료
-
- http://ko.wikipedia.org/wiki/푸리에변환
- http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=[1]
관련기사
- [생활속과학원리찾기푸리에 변환은 어떻게 쓰일까]
- 안종제 영신고등학교 물리 교사, 세계일보, 2007-3-25
- [사이언스 21(119)푸리에 급수]
- [2]전자신문, 2006-9-11
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=푸리에변환
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=푸리에
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=