"황금비"의 두 판 사이의 차이
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* <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math> | * <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math> | ||
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| − | + | ==정오각형과 황금비== | |
* 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다. | * 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다. | ||
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| − | + | ==황금비와 피보나치 수열== | |
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| − | + | ==황금비와 정이십면체== | |
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| − | + | ==연분수== | |
<math>\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math> | <math>\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math> | ||
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| − | + | ==유리수 근사와 황금비== | |
무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, | 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, | ||
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| − | + | ==로저스-라마누잔 연분수== | |
<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math> | <math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math> | ||
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| − | + | ==Dilogarithm== | |
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math> | <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math> | ||
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| − | + | ==르장드르 카이 함수== | |
| − | * [[르장드르 카이 함수]] | + | * [[르장드르 카이 함수]] |
| + | :<math>\chi_2(\frac{\sqrt{5} -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})</math> | ||
| + | :<math>\chi_2(\sqrt{5} -2) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})</math> | ||
| − | + | ==메모== | |
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* golden integral : http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=785258#785258 | * golden integral : http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=785258#785258 | ||
* 숫자 5 http://plus.maths.org/issue45/features/kaplan/index.html | * 숫자 5 http://plus.maths.org/issue45/features/kaplan/index.html | ||
| + | * [http://math.ucr.edu/home/baez/week22.html This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 203)]<br> | ||
| + | ** John Baez | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/2686193 Misconceptions about the Golden Ratio]<br> | ||
| + | ** George Markowsky | ||
| + | ** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 23, No. 1 (Jan., 1992), pp. 2-19 | ||
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* [[정오각형]] | * [[정오각형]] | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
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| − | + | ==사전형태의 자료== | |
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%99%A9%EA%B8%88%EB%B9%84 http://ko.wikipedia.org/wiki/황금비] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%99%A9%EA%B8%88%EB%B9%84 http://ko.wikipedia.org/wiki/황금비] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/golden_ratio | * http://en.wikipedia.org/wiki/golden_ratio | ||
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| − | + | ==동영상== | |
* [http://vimeo.com/9953368 Nature by Numbers] | * [http://vimeo.com/9953368 Nature by Numbers] | ||
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | * http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | ||
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2012년 9월 24일 (월) 04:28 판
개요
황금비
- \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
- 두 수 (또는 길이) \(a,b\)가 \(a+b:a=a:b\) 를 만족시키면 황금비를 이룬다고 말함
[[Media:|Media:]]
정오각형과 황금비
- 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.
[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]
\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)
황금비와 피보나치 수열
[/pages/2252978/attachments/1347082 goldenrectangle.jpg]
황금비와 정이십면체
Golden rectangles in an icosahedron
- 황금사각형 세 개가 이루는 꼭지점이 정이십면체의 꼭지점이 된다
연분수
\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)
유리수 근사와 황금비
무리수 \(\alpha\) 에 대하여,
\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)
는 무한히 많은 p,q 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.
- 연분수 항목을 참조
로저스-라마누잔 연분수
\(\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots\)
Dilogarithm
\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)
\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)
\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)
\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)
- Dilogarithm 항목을 참조
르장드르 카이 함수
\[\chi_2(\frac{\sqrt{5} -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})\] \[\chi_2(\sqrt{5} -2) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})\]
메모
- golden integral : http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=785258#785258
- 숫자 5 http://plus.maths.org/issue45/features/kaplan/index.html
- This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 203)
- John Baez
- Misconceptions about the Golden Ratio
- George Markowsky
- The College Mathematics Journal, Vol. 23, No. 1 (Jan., 1992), pp. 2-19
관련된 항목들
관련도서
사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/황금비
- http://en.wikipedia.org/wiki/golden_ratio
- http://www18.wolframalpha.com/input/?i=golden+ratio