2012년 대선 개표와 로지스틱 곡선

그루터기추억의 글

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• 이번 대선 득표율 그래프는 ... 정확히 로지스틱곡선에 해당된다
• 누적득표량에 대한 로지스틱곡선들이 ... 알려주는 중요한 것들
• 로지스틱함수에 의해 사전에 계산된 ... 박근혜 후보의 득표수!!
• 로지스틱 곡선형태의 대선 득표수에 대한 합리적인 의심과 의문!
• 로지스틱곡선에 의한, 간단한 당선 유력 발표시점 산출 방법

가장 화제가 된 글의 삽질

• 여러 글 중에서도 로지스틱함수에 의해 사전에 계산된 ... 박근혜 후보의 득표수!! 는 많은 조회수와 답변을 기록
• 시간대별 로지스틱 확률함수 $p(t)$라는 것을 제시하고, 그로부터 시간대별 누적득표수를 정확히 계산할 수 있다는 주장을 해서 많은 사람들을 충격과 공포에 빠뜨림.
• $p$라는 것이 어떻게 얻어진 것인지를 이 글에서는 제시하지 않았기 때문에 고개를 갸우뚱하게 함
  • 이에 대한 계산 과정은 논란 이후에 또다른 글 이번 대선 득표율 그래프는 ... 정확히 로지스틱곡선에 해당된다 에서 그루터기추억이 밝혀 놓음
• 아래에서는 논리를 재구성하여 무엇이 뻘 계산인지를 밝히려 함

그루터기추억의 $p$와 $f$

• 집합 $\{1,2,\cdots, 21\}$ 를 정의역으로 하는 두 함수 $f,g$에 대하여, 함수 $p$를 다음과 같이 정의하자

$$ p(t):=\frac{f(1) f(t) g(t)}{f(1) (g(t)-1)+f(t)} $$

• 이 정의로부터 다음을 얻는다 (일명 그루터기추억의 항등식)

$$\label{fep} f(t)=\frac{p(1) (1-g(t)) p(t)}{p(t)-p(1) g(t)} $$

• 중요한 점은 함수 $g$가 주어져 있기만 한다면 그게 무엇이든 상관없이 $f$로부터 $p$를 계산할 수 있고, 마찬가지로 $p$로부터 $f$를 계산할 수 있다는 사실.
• 이 글에서 $f(t)$는 박근혜 후보의 시간 $t$에서의 누적득표수의 비율로 다음 표로 제시됨

• $g(t)=e^t$ 가 사용되었고, 여기서 로지스틱 확률함수라고 부르는 $p(t)$가 계산된 것임.
• $g(t)=e^t$ 의 선택 때문에 $p$의 그래프가 로지스틱 곡선과 비슷하게 나타남.

로지스틱 음모가 아니라 혹시 사인 음모론은 아닌가

• $g$를 다른 함수로 선택하면, $p$ 역시 다른 함수가 될 것임.
• 가령 $g(t)=\sin t$로 두면, $p$의 (적당한 내삽을 거쳐) 그래프는 다음과 같이 주어짐

• 물론 이 $p(t)$를 가지고도, 그루터기추억의 항등식 \ref{fep}을 사용하여 박근혜 후보의 시간대별 누적득표수를 완벽하게 계산할 수 있음
• 그러면 이것은 로지스틱 음모론이 아니라 사인 음모론인가?

요약정리

• 이 글에서 제시된 시간대별 로지스틱 확률함수 $p(t)$라는 것은 $g$가 지수함수이기 때문에 로지스틱 곡선의 모양을 하게 된 것뿐임
• 가령, $g$를 사인함수로 선택하면, $p$는 사인곡선 모양을 함
• 장황하게 로지스틱 확률함수 $p$라고 이름을 붙였으나, 실은 별 의미없는 뻘 계산으로 놀라울 것이 없음

관련된 항목들

• 로지스틱 미분방정식
• 지수함수