자연수의 분할수(integer partitions)

개요

• 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함.
• 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
• 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
• 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5  일곱가지 방법
• 자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 \(p(n)\) (n의 분할수, partition number)라 한다.
  
  • p(3)=3, p(5)=7

 

 

수가 작은 경우의 분할수

n  p(n)

0    1
1    1
2    2
3    3
4    5
5    7
6    11
7    15
8    22
9    30
10    42
11    56
12    77
13    101
14    135
15    176
16    231
17    297
18    385
19    490
20    627

• 200까지의 분할수 목록
• 분할수가 상당히 빨리 증가함을 볼 수 있음

 

 

생성함수

• 분할수의 생성함수는 무한곱으로 표현가능\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\]
  

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)

• 분할수의 생성함수(오일러 함수) 항목을 참조
  

 

 

분할수의 점화식

• 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨\[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\]
  

 

(증명)

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 를 이용하자.

\((1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\)

이는 분할수의 생성함수(오일러 함수)

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \) 의 역수이므로, 둘을 곱하여

\((\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1\) 

을 얻는다. 이로부터

\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)

를 얻을 수 있다.  ■

• 예
  
  • \(p(10)=42\)
  • \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)

 

 

분할수가 만족시키는 합동식

• 라마누잔의 발견\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\]\[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\]\[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]
  
• 분할수가 만족시키는 합동식 항목 참조

 

 

분할수의 근사공식

• 하디-라마누잔 분할수 공식

\[p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

 

 

 

메모

• [1]http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf

 

 

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 일변수미적분학
• 해석개론
• 복소함수론
• 초등정수론
• 해석적정수론

 

 

관련된 항목들

• 라마누잔의 수학
• 데데킨트 에타함수
• Farey series
• 하디-라마누잔 분할수 공식
• 수학사 연표
• 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)

 

 

관련도서

• George E. Andrews, The Theory of Partitions

 

 

관련논문

• Computations of the Partition Function
  
  • P. Shiu, The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 45-52
• Euler's "De Partitio Numerorum"
  
  • George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
• http://en.wikipedia.org/wiki/