해석개론

개요

• 실수의 정의, \(\epsilon\)-\(\delta\)논법 등을 통해 증명없이 배운 일변수미적분학의 엄밀한 기초를 세움.
• 연속, 미분, 리만 적분을 엄밀하게 정의하고, 기본적인 정리를 증명함.
• 다양한 개념의 수렴성을 배우고, 푸리에 급수를 공부함.

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 일변수미적분학
• 산술기하평균부등식, 젠센부등식 등의 절대부등식
  • \(\epsilon\)-\(\delta\)논법을 실제로 적용하려면, 부등식을 다루는 감각이 필요함.

다루는 대상

• 실수
• 수열과 급수
• 연속, 미분가능 함수

중요한 개념 및 정리

• 실수의 완비성
• \(\epsilon\)-\(\delta\)
• 푸리에 급수

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 감마함수

다른 과목과의 관련성

• 상미분방정식
  • '적당한 조건이 주어진' 미분방정식의 해의 존재성과 유일성

더 공부하면 좋은 것들

• Special functions
• 푸리에 변환
• 함수해석학

표준적인 교과서

• Principles of Mathematical Analysis by Walter Rudin

추천도서 및 보조교재

• The Gamma Function
  • Emil Artin

메모

• Ramm, A. G. “A Simple Proof of the Closed Graph Theorem.” arXiv:1601.02600 [math], January 8, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.02600.

리뷰, 에세이, 강의노트

• Sinkevich, Galina. “On the History of Nested Intervals: From Archimedes to Cantor.” arXiv:1508.05862 [math], August 21, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05862.
• Deveau, Michael, and Holger Teismann. “Would Real Analysis Be Complete without the Fundamental Theorem of Calculus?” arXiv:1507.03919 [math], July 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03919.
• Weiss, Ittay. “The Real Numbers - a Survey of Constructions.” arXiv:1506.03467 [math], May 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03467.
• Sinkevich, Galina. ‘Rolle Theorem and Bolzano-Cauchy Theorem from the End of the 17th Century to K. Weierstrass Epoch’. arXiv:1503.03118 [math], 9 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.03118.
• Sinkevich, Galina. ‘On the History of Number Line’. arXiv:1503.03117 [math], 2 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.03117.
• Raman-Sundstrom, Manya. “A Pedagogical History of Compactness.” arXiv:1006.4131 [math], June 21, 2010. http://arxiv.org/abs/1006.4131.
• Filling Holes in the Real Line
  • Bob Burn
  • The Mathematical Gazette, Vol. 74, No. 469 (Oct., 1990), pp. 228-232
• Dedekind's Completeness Theorem
  • P. M. Sawant
  • The Mathematical Gazette, Vol. 57, No. 401 (Oct., 1973), pp. 201-202
• Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta
  • Walter Felscher
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 9 (Nov., 2000), pp. 844-862
• Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus
  • Judith V. Grabiner
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 3 (Mar., 1983), pp. 185-194
• Fourier Series Came First
  • Salomon Bochner
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 197-199
• Similarities Between Fourier and Power Series
  • Richard Askey and Deborah Tepper Haimo
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 4 (Apr., 1996), pp. 297-304
• Using Fourier Analysis in Digital Signal Processing
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  • The College Mathematics Journal, Vol. 23, No. 4 (Sep., 1992), pp. 320-328