"반전 사상(inversion)"의 두 판 사이의 차이
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** 동치조건으로, 원의 반지름이 r 인경우 다음과 같은 조건을 만족시킬 때<br>[[파일:1983652-120px-Inversion_illustration1.png]]:<math>OP\cdot OP'=r^2</math><br> | ** 동치조건으로, 원의 반지름이 r 인경우 다음과 같은 조건을 만족시킬 때<br>[[파일:1983652-120px-Inversion_illustration1.png]]:<math>OP\cdot OP'=r^2</math><br> | ||
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| + | * 중심이 $a\in \mathbb{R}^n$이고, 반지름이 $r>0$인 구면 $\{x\in \mathbb{R}^n|x-a|=r\}$에 대하여, $x$의 반전 $x'$은 다음과 같이 주어진다 | ||
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| + | * [[등각 사상 (conformal mapping)]]에서의 정의를 따르면, conformal factor $\Omega$는 다음과 같이 주어진다 | ||
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| + | ===2차원에서의 예=== | ||
| + | * 중심이 $(0,0)$이고, 반지름이 $1$인 원에 대하여, 반전은 다음과 같은 변환이 된다 | ||
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| + | * conformal factor는 $$\Omega=\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)}$$가 된다 | ||
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==관련된 대학 수학== | ==관련된 대학 수학== | ||
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** [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스변환]] | ** [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스변환]] | ||
| − | * [[미분기하학]] | + | * [[미분기하학]] |
** 반전은 비유클리드기하학의 쌍곡기하학에서 등거리사상. | ** 반전은 비유클리드기하학의 쌍곡기하학에서 등거리사상. | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| + | * [[반사 변환]] | ||
| − | + | ==계산 리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR1FBUkt1eTJoMkk/edit | ||
2013년 2월 2일 (토) 10:17 판
개요
- 평면상에 직선이 주어져 있을 때, 평면위의 한 점을 그 직선에 대칭되는 점으로 보낼 수 있음.
- 그에 대응되는 개념으로, 평면상에 원이 하나 주어져 있을때, 점들을 그 원에 대칭인 점들로 보내는 사상을 '반전(inversion)이라 함.
- 두 점 P,P'가 주어진 원에 대해 대칭이라는 조건은 다음과 같이 정의할 수 있음.
- 두 점 P와 P'를 지나는 모든 직선과 원이 주어진 원과 수직으로 만남.
- 동치조건으로, 원의 반지름이 r 인경우 다음과 같은 조건을 만족시킬 때
\[OP\cdot OP'=r^2\]
- n차원 공간에서도 정의되며, 등각 사상 (conformal mapping)이다
리만구면상에서의 반전 사상
- 평면상에서의 반전 사상은 복소 리만 구면 상의 회전변환을 통하여 잘 이해할 수 있음.
반전 사상과 쌍곡기하학
- 반전을 반복할 때 얻을 수 있는 종류의 그림
파일:1922438-tess2.gif - 반전 사상은 원판을 모델로 하는 쌍곡기하학에서, 모든 점들의 길이를 보존하는 등거리사상임.
- 따라서 위의 그림에 있는 삼각형들은 쌍곡기하학의 관점에서 보면, 모두 그 크기와 모양이 똑같음.
n차원 유클리드 공간에서의 반전 사상
- 중심이 $a\in \mathbb{R}^n$이고, 반지름이 $r>0$인 구면 $\{x\in \mathbb{R}^n|x-a|=r\}$에 대하여, $x$의 반전 $x'$은 다음과 같이 주어진다
$$ x'=\frac{r^2(x-a)}{|x-a|^2}+a $$
- 등각 사상 (conformal mapping)에서의 정의를 따르면, conformal factor $\Omega$는 다음과 같이 주어진다
$$ \Omega=\frac{r^2}{(x-a)\cdot (x-a)} $$
2차원에서의 예
- 중심이 $(0,0)$이고, 반지름이 $1$인 원에 대하여, 반전은 다음과 같은 변환이 된다
$$ (x,y)\mapsto (\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}) $$
- conformal factor는 $$\Omega=\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)}$$가 된다
메모
- 위의 그림을 그리기 위한 매쓰매티카 코드
- 코드 해설은 Complex analysis with Mathematica, Chapter 22. 참조
- hyperbolic_triangles.nb
관련된 단원
- 평면기하
관련된 대학 수학
관련된 항목들
계산 리소스
관련논문
- Circles and Spheres
- G. D. Chakerian, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 11, No. 1 (Jan., 1980), pp. 26-4
블로그
- 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion) (피타고라스의 창)
- 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번… (피타고라스의 창)