반사 변환

개요

• n 차원 공간의 초평면에 대한 반사

벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도

• 법벡터를 <math>\alpha\neq 0</math>로 갖는 초평면 <math>H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}</math>을 생각하자
• 벡터 <math>x</math>를 <math>H_{\alpha,c}</math>에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 <math>x'</math>라 하자
• 임의의 점 <math>x_0\in H_{\alpha,c}</math>를 선택하면, 벡터 <math>x-x_0</math>의 <math>H_{\alpha,c}</math>에 수직한 성분은

<math>

\frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha </math> 로 주어진다

• 따라서

<math>

x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha </math>

• <math>\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}</math>로 두면, 다음과 같이 표현된다

<math>

x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} </math>

특수한 경우

• <math>c=0</math>이고 <math>\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)</math> 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다

<math>\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)</math>

• 정이면체군(dihedral group)

관련된 항목들

• 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)
• 벡터의 내적

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR2poNlZLVnEwOXc/edit

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_%28mathematics%29

메타데이터

위키데이터

• ID : Q426221

Spacy 패턴 목록

• [{'LEMMA': 'reflection'}]
• [{'LEMMA': 'reflexion'}]