차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)

개요

• 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
• finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
• 미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
  
  • 계차수열 ~ 미분
  • 부분합 ~ 적분

 

 

계차수열

• 계차수열

F, f 는 다음 조건을 만족하는 두 수열이다.

\(\Delta F=f\) 즉 \(f(n)=F(n+1)-F(n)\)

미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 \(\Delta F=f\) 로 표현하자.

 

(정리)

 

 

수열의 부분합

수열 f 에 대하여

\(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\)

는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다

 

 

Calculus of Finite Dfference의 기본정리

두 수열 F, f 가 \(\Delta F=f\)를 만족하면,

\(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\)

가 성립한다.

 

 

증명

\(F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)\)

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• 차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)
  
  • 거듭제곱의 합을 구하는 공식
    
  • 베르누이 다항식
    
  • 베르누이 수
    
  • 오일러-맥클로린 공식
    
  • 오일러수
    

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 수열

 

 

관련된 항목들

• Sum of powers
• 생성함수
• 스털링 공식
• Digamma 함수
• 미적분학의 기본정리
• q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)

 

 

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/finite_calculus

 

 

관련논문

• The Finite Calculus
  
  • From the book 'A Primer of Analytic Number Theory' 1.2
• Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers
  
  • Lee Zia, The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300

• Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives
  
  • Gilbert Strang, The College Mathematics Journal, Vol. 21, No. 1 (Jan., 1990), pp. 20-27

• An Elementary Exposition of the Theory of Finite Differences
  
  • Saul Epsteen, The American Mathematical Monthly, Vol. 11, No. 6/7 (Jun. - Jul., 1904), pp. 131-136
• Telescoping Sums and the Summation of Sequences
  
  • G. Baley Price, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 4, No. 2 (Spring, 1973), pp. 16-29
• The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations
  
  • Vito Lampret, Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
• An Euler Summation Formula
  
  • Irwin Roman, The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21

 

 

블로그

• http://cjackal.tistory.com/154finite+calculus
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