"로저스-라마누잔 항등식"의 두 판 사이의 차이

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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmQ3NGMzZWMtZTg4OC00NjBlLTljNmUtOGExYjkyYjA3NDkx&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmQ3NGMzZWMtZTg4OC00NjBlLTljNmUtOGExYjkyYjA3NDkx&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
** [http://oeis.org/A003114 A003114] Number of partitions of n into parts 5k+1 or 5k+4
 
** [http://oeis.org/A003114 A003114] Number of partitions of n into parts 5k+1 or 5k+4
 
** [http://oeis.org/A003106 A003106]         Number of partitions of n into parts 5k+2 or 5k+3.
 
** [http://oeis.org/A003106 A003106]         Number of partitions of n into parts 5k+2 or 5k+3.
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
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* [[매스매티카 파일 목록]]
 
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* [http://www.amazon.com/Number-Theory-Spirit-Ramanujan-Berndt/dp/0821841785 Number Theory in the Spirit of Ramanujan]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Number-Theory-Spirit-Ramanujan-Berndt/dp/0821841785 Number Theory in the Spirit of Ramanujan]<br>
 
** Bruce C. Berndt
 
** Bruce C. Berndt
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2013년 4월 10일 (수) 06:05 판

개요

 

 

로저스-라마누잔 항등식

  • 다음의 두 항등식을 로저스-라마누잔 항등식이라 부른다

\[G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\] \[H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\]

\[(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\]

 

 

세타함수 표현과 모듈라 성질

  • 세타함수를 통한 표현

\[G(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+n)/2}\] \[H(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+3n)/2}\]

  • 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 모듈라 성질을 갖게 됨

\[q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\] \[q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \]

 

 

cusp에서의 변화

  • \(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,\[H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\]\[G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\]
  • [McIntosh1995] 참조
  • 이로부터 다음을 알 수 있다\[t\to 0\] 일 때, \(q=e^{-t}\to 1\) 으로 두면\[\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\]

 

 

로저스-라마누잔 연분수

  • 두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다\[\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\]
  • 로저스-라마누잔 연분수  항목에서 다루기로 함

 

 

 

재미있는 사실

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전형태의 자료

 

 

관련도서

 

 

관련논문

 

  

 

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