로저스-라마누잔 연분수

수학노트
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개요

  • 라마누잔이 하디에게 보낸 편지에는 다음과 같은 공식이 포함되어 있음
<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math>

여기서 <math>\varphi</math> 는 황금비

  • 위의 식은 모듈라군 <math>\Gamma(5)</math>에 대한 모듈라 함수 <math>r(\tau)</math>의 special value 로 이해할 수 있음
  • 5차방정식과 정이십면체와 깊은 관계를 가짐


연분수의 유도

  • <math>R(z)</math>를 다음과 같이 정의하자
<math>R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}</math>
  • <math>H(q)=R(q), G(q)=R(1)</math>


정리

  • 다음이 성립한다
<math>R(z)=R(zq)+zqR(zq^2)</math>


증명

<math>R(zq)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}</math>
<math>R(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq^2)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+2n}}{(1-q)_q^n}</math>
<math>zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^{n+1}q^{(n+1)^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}}</math>
<math>

\begin{aligned} R(zq)+zqR(zq^2)&=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2+n}}{(1-q)_q^{n-1}}\\ &=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}} \\ &=1+ \sum_{n\geq 1}\frac{z^nq^{n^2+n}+z^nq^{n^2}(1-q^n)}{(1-q)_q^n} \\ & =1+\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n} = R(z) \end{aligned} </math> ■


응용

  • 이 정리로부터 <math>R(q^n)=R(q^{n+1})+q^{n+1}R(q^{n+2})</math>
  • 즉
<math>\frac{R(q^{n+1})}{R(q^n)}=\cfrac{1}{1+q^{n+1}\cfrac{R(q^{n+2})}{R(q^{n+1})}}</math>를 얻는다.
<math>\frac{H(q)}{G(q)}=\cfrac{R(q)}{R(1)} = \cfrac{1}{1+q\cfrac{R(q^2)}{R(q)}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+q^2\cfrac{R(q^3)}{R(q^2)}}}=\cdots</math>

이를 반복하면, 다음을 얻는다.

<math>\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>


로저스-라마누잔 모듈라 함수

  • 다음은 모듈라 함수이다
<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>

여기서 <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>.

  • <math>\tau=i</math> 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.
<math>r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}</math>
  • 모듈라 군(modular group) <math>\Gamma(5)</math>에 의해 불변이다:<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>


(정리)

<math>r(\tau+1)=Sr(\tau)=\zeta_5r(\tau)</math>

<math>r(-\frac{1}{\tau})=Tr(\tau)</math>

여기서 <math>S=\begin{pmatrix} \zeta_{10} & 0 \\ 0 & \zeta_{10} \end{pmatrix} </math>, <math>T={\begin{pmatrix} -1 & g \\ g & 1 \end{pmatrix}}</math>, <math>g=\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>


푸리에급수

<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} =q^{\frac{1}{5}}\frac {(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} </math>
<math>r(\tau) = q^{1/5}(1 - q + q^2 - q^4 + q^5 - q^6 + q^7 - q^9 + 2q^{10} - 3q^{11}+\cdots</math>



데데킨트 <math>\eta</math> 함수와의 관계

<math>\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1=\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}</math>
<math>\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1=\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}</math>
  • 에타함수의 모듈라 성질
<math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)</math>
<math>\eta(-\frac{1}{25\tau}) =\sqrt{\frac{25\tau}{i}}\eta(25\tau)</math>
<math>\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}=5</math>
  • 양변을 곱하여 다음 식을 얻는다.
<math>(\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1)(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1)=5</math>
  • <math>\tau=\frac{i}{5}</math> 인 경우, 다음을 얻고 방정식을 풀 수 있음.
<math>(\frac{1}{r(i)}-r(i)-1)^2=5</math>
<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}=0.28407904384\cdots</math>


special values

  • 위에서 다음을 얻었다
<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math>:<math>r(0)= \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots</math>


j-invariant 와의 관계

(정리)

<math>(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0</math>

또는

<math>j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math>

여기서, <math>j(\tau)</math> 는 j-invariant



메모



관련된 항목들




매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Gaurav Bhatnagar, Michael D. Hirschhorn, A formula for the convergents of a continued fraction of Ramanujan, http://arxiv.org/abs/1603.07664v1
  • Ciolan, Alexandru, and Robert Axel Neiss. “Convergence Properties of the Classical and Generalized Rogers-Ramanujan Continued Fraction.” arXiv:1504.06482 [math], April 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06482.
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