가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation)

개요

• \(pq\)가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의

\[S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\]

(정리) (가우스 합의 상호법칙, Landsberg–Schaar relation)

자연수p,q에 대하여 \(pq\)가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다. \[\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)\]

증명

세타함수의 모듈라 성질, \[\theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)\] 를 이용하자.

양변에 \(\sqrt{\epsilon}\)을 곱하여, 극한을 구하면,

좌변은 \[\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\frac{p}{q}\cdot\frac{1}{p}\cdot\overline{S(q,p)}=\frac{1}{q}\overline{S(q,p)}\]

우변은 \[\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon}\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=e^{-\pi i/4}\sqrt{\frac{p}{q}}\cdot \frac{1}{q}S(p,q)\]

이 된다. 따라서 다음을 얻는다. \[\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)\] ■

관련된 항목들

• 자코비 세타함수
• 가우스 합
• 이차잉여의 상호법칙

메모

• http://mathoverflow.net/questions/120067/what-do-theta-functions-have-to-do-with-quadratic-reciprocity