Quantized universal enveloping algebra

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• quantized universal enveloping algebra

 

 

개요

• \(U_{q}(\mathfrak{g})\) : Kac-Moody 대수의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 의 deformation
• 호프 대수 (Hopf algebra)의 구조를 가짐
• 양자군의 예

 

 

Cartan datum

• Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
• \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) symmetrizable GCM
  
  • \(D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}\) diagonal matrix s.t. DA is symmetric
• \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
• \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
• \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
• \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
• \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)}=a_{ji}\}\) : simple roots

 

 

• \((\cdot|\cdot)\) symmetric bilinear form on \(\mathfrak{g}^{*}\)
• \(s_{i}=\frac{(\alpha_{i}|\alpha_{i})}{2}\in \mathbb{Z}_{>0}\)
• q: indeterminate
• \(q_i=q^{s_{i}}\)
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)

 

 

 

정수의 q-analogue

• 정수 n에 대하여 다음과 같이 정의
  \([n]_{q_i} =\frac{q_{i}^{n}-q_{i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} \)
  \([0]_{q_i} =1\)
  \([n]_{q_i}!=[n]_{q_i}[n]_{q_i}\cdots [n]_{q_i}\)
  \({m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}}\)
  
• 극한 \(q \to 1\)
  

 

 

quantized universal enveloping algebra \(U_{q}(\mathfrak{g})\)

• 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(q^{h} (h\in P^{\vee})\)
• 관계식
  
  • \(q^0=1\)
  • \(q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}\)
  • \(e_if_j-f_je_i=\delta_{i,j}\frac{k_i-k_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}\) 여기서 \(k_{i}=q^{h_is_i}\)
  • \(q^he_jq^{-h}=q^{\alpha_j(h)}e_j\)
  • \(q^hf_jq^{-h}=q^{-\alpha_j(h)}f_j\)
  • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0\) (\(i\neq j\))
  • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0\) (\(i\neq j\))

 

 

호프 대수 구조

• comultiplication 
  \(\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})\)
  \(\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}\)
  \(\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i^{-1}+1\otimes e_i\)
  \(\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i\otimes f_i\)
  

• counit
  \(\epsilon(q^{h}) =1\)
  \(\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0\)
  
• antipode
  \(S(q^h) = q^{-h}\) for \(x \in \mathfrak{g}\)
  \(S(e_i) =-e_ik_i, S(f_i)=-k_i^{-1}f_i\)
  

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

• http://mathoverflow.net/questions/5538/why-drinfeld-jimbo-type-quantum-groups
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

•  
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_group
• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_affine_algebra
• Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=