Quantized universal enveloping algebra

수학노트
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개요

  • <math>U_{q}(\mathfrak{g})</math> : Kac-Moody 대수의 UEA <math>U(\mathfrak{g})</math> 의 deformation
  • 호프 대수(Hopf algebra)의 구조를 가짐
  • 양자군 (quantum group)의 예


Cartan datum

  • Cartan datum <math>(A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)</math>
  • <math>A=(a_{ij})_{i,j\in I}</math> symmetrizable GCM
    • <math>D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}</math> diagonal matrix s.t. DA is symmetric
  • <math>P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})</math> : dual weight lattice
  • <math>\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}</math> : Cartan subalgebra
  • <math>P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}</math> : weight lattice
  • <math>\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}</math> : simple coroots
  • <math>\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_ {ji}\}</math> : simple roots
  • <math>(\cdot|\cdot)</math> symmetric bilinear form on <math>\mathfrak{g}^{*}</math>
  • <math>s_{i}=\frac{(\alpha_{i}|\alpha_{i})}{2}\in \mathbb{Z}_{>0}</math>
  • q: indeterminate
  • <math>q_i=q^{s_{i}}</math>
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)


정수의 q-analogue

  • 정수 n에 대하여 다음과 같이 정의:<math>[n]_{q_i} =\frac{q_ {i}^{n}-q_ {i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} </math>:<math>[0]_{q_i} =1</math>:<math>[n]_{q_i}!=[n]_ {q_i}[n]_ {q_i}\cdots [n]_{q_i}</math>:<math>{m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}</math>
  • 극한 <math>q \to 1</math>


quantized universal enveloping algebra <math>U_{q}(\mathfrak{g})</math>

  • 생성원 <math>e_i,f_i , (i\in I)</math>, <math>q^{h} (h\in P^{\vee})</math>
  • 관계식
    • <math>q^0=1</math>
    • <math>q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}</math>
    • <math>e_if _j-f_je _i=\delta_{i,j}\frac{k_i-k_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}</math> 여기서 <math>k_{i}=q^{h_is _i}</math>
    • <math>q^he_jq^{-h}=q^{\alpha_j(h)}e_j</math>
    • <math>q^hf_jq^{-h}=q^{-\alpha_j(h)}f_j</math>
    • <math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}e_ {i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_ {i}^k=0</math> (<math>i \neq j</math>)
    • <math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}f_ {i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_ {i}^k=0</math> (<math>i \neq j</math>)



호프 대수 구조

  • comultiplication
<math>\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})</math>
<math>\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}</math>
<math>\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i+1\otimes e_i</math>
<math>\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i^{-1}\otimes f_i</math>
  • counit
<math>\epsilon(q^{h}) =1</math>
<math>\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0</math>
  • antipode
<math>S(q^h) = q^{-h}</math> for <math>x \in \mathfrak{g}</math>
<math>S(e_i) =-e_ik_i^{-1}, S(f_i)=-k_if_i</math>


극한 <math>q \to 1</math>


역사



메모



관련된 항목들


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'quantum'}, {'LEMMA': 'group'}]
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