Quantized universal enveloping algebra

개요

• \(U_{q}(\mathfrak{g})\) : Kac-Moody 대수의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 의 deformation
• 호프 대수(Hopf algebra)의 구조를 가짐
• 양자군 (quantum group)의 예

Cartan datum

• Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
• \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) symmetrizable GCM
  • \(D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}\) diagonal matrix s.t. DA is symmetric
• \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
• \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
• \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
• \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
• \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_ {ji}\}\) : simple roots
• \((\cdot|\cdot)\) symmetric bilinear form on \(\mathfrak{g}^{*}\)
• \(s_{i}=\frac{(\alpha_{i}|\alpha_{i})}{2}\in \mathbb{Z}_{>0}\)
• q: indeterminate
• \(q_i=q^{s_{i}}\)
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)

정수의 q-analogue

• 정수 n에 대하여 다음과 같이 정의\[[n]_{q_i} =\frac{q_ {i}^{n}-q_ {i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} \]\[[0]_{q_i} =1\]\[[n]_{q_i}!=[n]_ {q_i}[n]_ {q_i}\cdots [n]_{q_i}\]\[{m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}\]
• 극한 \(q \to 1\)

quantized universal enveloping algebra \(U_{q}(\mathfrak{g})\)

• 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(q^{h} (h\in P^{\vee})\)
• 관계식
  • \(q^0=1\)
  • \(q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}\)
  • \(e_if _j-f_je _i=\delta_{i,j}\frac{k_i-k_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}\) 여기서 \(k_{i}=q^{h_is _i}\)
  • \(q^he_jq^{-h}=q^{\alpha_j(h)}e_j\)
  • \(q^hf_jq^{-h}=q^{-\alpha_j(h)}f_j\)
  • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}e_ {i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_ {i}^k=0\) (\(i \neq j\))
  • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}f_ {i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_ {i}^k=0\) (\(i \neq j\))

호프 대수 구조

• comultiplication

\[\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})\] \[\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}\] \[\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i+1\otimes e_i\] \[\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i^{-1}\otimes f_i\]

• counit

\[\epsilon(q^{h}) =1\] \[\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0\]

• antipode

\[S(q^h) = q^{-h}\] for \(x \in \mathfrak{g}\) \[S(e_i) =-e_ik_i^{-1}, S(f_i)=-k_if_i\]

극한 \(q \to 1\)

• http://mathoverflow.net/questions/92046/quantum-group-uqsl2
• \([a,b]=\lambda b\) 이면, \(q^a b q^{-a}=q^{\lambda} b\)
• 베이커-캠벨-하우스도르프 공식 참조

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• http://mathoverflow.net/questions/5538/why-drinfeld-jimbo-type-quantum-groups
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 호프 대수(Hopf algebra)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_group
• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_affine_algebra

메타데이터

위키데이터

• ID : Q2122223

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'quantum'}, {'LEMMA': 'group'}]