"가우스 합의 상호법칙(Landsberg-Schaar relation)"의 두 판 사이의 차이
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자연수p,q에 대하여 <math>pq</math>가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다. | 자연수p,q에 대하여 <math>pq</math>가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다. | ||
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| + | * http://mathoverflow.net/questions/120067/what-do-theta-functions-have-to-do-with-quadratic-reciprocity | ||
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | == | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbWM5eHVYNXNLSDA/edit |
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2014년 4월 19일 (토) 23:55 기준 최신판
개요
- \(pq\)가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의
\[S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\]
- 정리 (가우스 합의 상호법칙, Landsberg–Schaar relation)
자연수p,q에 대하여 \(pq\)가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다. \[\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)\]
증명
세타함수의 모듈라 성질, \[\theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)\] 를 이용하자.
양변에 \(\sqrt{\epsilon}\)을 곱하여, 극한을 구하면,
좌변은 \[\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\frac{p}{q}\cdot\frac{1}{p}\cdot\overline{S(q,p)}=\frac{1}{q}\overline{S(q,p)}\]
우변은 \[\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon}\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=e^{-\pi i/4}\sqrt{\frac{p}{q}}\cdot \frac{1}{q}S(p,q)\]
이 된다. 따라서 다음을 얻는다. \[\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)\] ■
메모
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