원분체 (cyclotomic field)

개요

• 크로네커-베버 정리
• cyclotomic units
• class field theory
• Iwasawa theory

기호

• \(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)

갈루아군

정리

\(G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

증명

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\text{Gal}(K/\mathbb Q)\)의 원소로, \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시킨다.

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■

• 유한생성 아벨군의 기본정리

원분체의 데데킨트 제타함수

• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]

• 제타함수의 분해\[\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)\]
• 이로부터 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 를 얻을 수 있다
• 자세한 내용은 원분체의 데데킨트 제타함수 항목 참조

유수(class number)

• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\) 의유수 \(h_K\)
• \(K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}\)
• \(h_K=h_K^{+}h_K^{-}\)
• \(h_K^{-}\)를 상대적 유수(relative class number)라 한다

메모

• Barry Mazur How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields? Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 155-209.
• http://arxiv.org/abs/1202.5777

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 원분다항식(cyclotomic polynomial)
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 가우스와 정17각형의 작도
• 데데킨트 제타함수
• 정규소수 (regular prime)
• 베르누이 다항식
• 로바체프스키와 클라우센 함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxME1PNGVkOEtsRmc/edit

수학용어번역

• cyclotomic - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/원분체
• http://en.wikipedia.org/wiki/cyclotomic_field
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cyclotomic_field

관련논문

• Miller, John C. “Class Numbers of Totally Real Fields and Applications to the Weber Class Number Problem.” arXiv:1405.1094 [math], May 5, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.1094.
• Schoof, René. "Class numbers of real cyclotomic fields of prime conductor." Mathematics of computation 72.242 (2003): 913-937.
• Hajir, Farshid, and Fernando Rodriguez Villegas. 1997. “Explicit Elliptic Units, I.” Duke Mathematical Journal 90 (3) (December): 495–521. doi:10.1215/S0012-7094-97-09013-X.
• van der Linden, F. J. "Class number computations of real abelian number fields." Mathematics of Computation 39.160 (1982): 693-707.

관련도서

• Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982