원분체의 데데킨트 제타함수

수학노트
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개요

  • <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>에 대한 데데킨트 제타함수:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math>
  • 디리클레 L-함수의 곱으로 분해할 수 있다
  • 디리클레 캐릭터의 conductor 개념이 중요



데데킨트 제타함수의 분해

  • <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>
  • modulo n 인 디리클레 캐릭터 들의 집합 <math>\hat{G}</math>을 생각하자
  • 각 디리클레 캐릭터<math>\chi\in \hat{G}</math> 는 적당한 conductor <math>f|n</math> 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character <math>\chi_{f}</math>로부터 얻어진다.
정리

다음이 성립한다

<math>\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(\chi_{f},s)</math>
따름정리

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리


예

<math>K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>의 경우

  • <math>d_K=-3</math>
  • <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}</math>
  • <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math>:<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)</math>
  • <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1
  • <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 3
  • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math>


<math>K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 경우

  • <math>d_K=-4</math>
  • <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}</math>
  • <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math>:<math>\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)</math>
  • <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1
  • <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 4
  • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math>


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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