"방정식과 대칭성 : 치환군"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | ==개요== | |
| − | + | * 군이란 어떤 불변성을 가진 대상에 대한 ‘변화’들의 모임을 말한다 | |
| − | + | ** 군론에 대해서는 [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]] 항목을 참조 | |
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* 군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐지만 해가 만족시키는 방정식은 변하지 않는다. | * 군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐지만 해가 만족시키는 방정식은 변하지 않는다. | ||
* 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다. | * 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다. | ||
| − | * <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma | + | * <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는 복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음. |
| − | ** <math>\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i</math>에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음 | + | ** <math>\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i</math>에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음 |
| − | * [[갈루아 이론]] 은 [[5차방정식과 근의 공식]] 문제를 풀기 위해 방정식의 해가 가지는 대칭성에 대한 연구로부터 시작되었다 | + | * [[갈루아 이론]] 은 [[5차방정식과 근의 공식]] 문제를 풀기 위해 방정식의 해가 가지는 대칭성에 대한 연구로부터 시작되었다 |
| − | ** [[5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론]] | + | ** [[5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론]] |
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| − | + | ==켤레복소수의 예== | |
| − | 실계수 방정식 <math>x^2+1=0</math> 에 대하여 생각해보자. 이 방정식은 실수 내에서는 해를 가지지 않으며, 해를 얻기 위해서는 허수라는 것을 실수에 집어넣어 실수를 복소수로 확장하는 작업이 필요하다. (유식한 말을 약간 사용하자면, 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 는 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 체확장이라 한다) | + | 실계수 방정식 <math>x^2+1=0</math> 에 대하여 생각해보자. 이 방정식은 실수 내에서는 해를 가지지 않으며, 해를 얻기 위해서는 허수라는 것을 실수에 집어넣어 실수를 복소수로 확장하는 작업이 필요하다. (유식한 말을 약간 사용하자면, 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 는 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 체확장이라 한다) 이 방정식은 복소수 내에서 두 개의 해 <math>\{i,-i\}</math>를 가진다. |
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| − | 이제 켤레복소수에 대해 생각해볼 차례이다. 복소수 <math>\alpha+\beta i</math> (<math>\alpha, \beta</math>는 실수) 에 대하여 복소수 <math>\alpha-\beta i</math>를 켤레복소수라 한다. <math>\alpha+\beta i</math>의 켤레복소수를 취하여 <math>\alpha-\beta i</math>를 얻는데, 여기서 또한번 켤레복소수를 취하면 다시 <math>\alpha+\beta i</math> 를 얻게 된다. 복소수를 켤레복소수로 보내는 | + | 이제 켤레복소수에 대해 생각해볼 차례이다. 복소수 <math>\alpha+\beta i</math> (<math>\alpha, \beta</math>는 실수) 에 대하여 복소수 <math>\alpha-\beta i</math>를 켤레복소수라 한다. <math>\alpha+\beta i</math>의 켤레복소수를 취하여 <math>\alpha-\beta i</math>를 얻는데, 여기서 또한번 켤레복소수를 취하면 다시 <math>\alpha+\beta i</math> 를 얻게 된다. 복소수를 켤레복소수로 보내는 함수를 <math>\sigma(z)=\bar{z}</math> 라고 표현한다면, <math>\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z</math>가 된다. 이를 간략하게 쓰자면 <math>\sigma^2=\operatorname{id}</math> , 즉 켤레복소수를 취하는 것을 함수로 보아 자기자신과 합성을 하면 항등함수를 얻게 된다는 것이다. |
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| − | 여기서 원소 두 개짜리 군 <math>\{\operatorname{id}, \sigma | + | 여기서 원소 두 개짜리 군 <math>\{\operatorname{id}, \sigma\}</math> 을 얻는다. 이를 유식하게는<math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math> 라고 하지만, 차차 알아가도록 하자. |
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| − | 지금 방정식 <math>x^2+1=0</math>과 그 해집합 <math>\{i,-i\}</math> 그리고 복소수를 복소수로 보내주는 두 함수, 항등함수와 켤레복소수 함수로 만들어진 군 <math>\{\operatorname{id}, \sigma | + | 지금 방정식 <math>x^2+1=0</math>과 그 해집합 <math>\{i,-i\}</math> 그리고 복소수를 복소수로 보내주는 두 함수, 항등함수와 켤레복소수 함수로 만들어진 군 <math>\{\operatorname{id}, \sigma\}</math>가 있다. |
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| − | 켤레복소수에 의하면, | + | 켤레복소수에 의하면, <math>\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i</math>에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 해가 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있다. |
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군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐다. 그러나 그 둘이 만족시키는 방정식 <math>x^2+1=0</math> 은 변하지 않는다. 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다. 한 방정식의 모든 해는 서로 변해도, 그들은 모두 여전히 같은 방정식을 만족시킨다. | 군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐다. 그러나 그 둘이 만족시키는 방정식 <math>x^2+1=0</math> 은 변하지 않는다. 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다. 한 방정식의 모든 해는 서로 변해도, 그들은 모두 여전히 같은 방정식을 만족시킨다. | ||
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| + | ;정리 | ||
| + | 체 <math>F</math>에 대하여, <math>a_n , a_{n-1} , \cdots, a_0 \in F</math> 라 하자. | ||
| − | + | <math>\alpha \in \bar{F}</math>가 기약방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해이면, 방정식의 해<math>\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n</math>를 모두 추가하여 만든 체확장 <math>K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)</math>의 갈루아군 <math>\text{Gal}(K/F)</math> 의 원소 <math>\sigma</math>에 대하여 <math>\sigma(\alpha)</math> 도 같은 방정식의 해가 된다. | |
| − | + | ;증명 | |
<math>\alpha </math>는 방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해이므로, <math>a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0 = 0</math>. | <math>\alpha </math>는 방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해이므로, <math>a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0 = 0</math>. | ||
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을 만족시킨다. | 을 만족시킨다. | ||
| − | 따라서 <math>\sigma(\alpha)</math>도 방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해가 된다. | + | 따라서 <math>\sigma(\alpha)</math>도 방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해가 된다. ■ |
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| − | + | ==예== | |
| − | + | 방정식의 해를 요리조리 결합시키는 과정을 체계적으로 생각하는데서, 바로 군론의 아이디어가 싹트게 된다. 오늘은 그에 대한 이야기이다. | |
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| − | + | <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>의 네 해는 다음과 같다는 것을 지난 번에 보였다. | |
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| + | <math>\alpha_1=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}+i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)=\zeta</math> | ||
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| + | <math>\alpha_2=\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)=\zeta^2</math> | ||
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| + | <math>\alpha_3=\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)=\zeta^3</math> | ||
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| + | <math>\alpha_4=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}-i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)=\zeta^4</math> | ||
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| + | 여기서 <math>\zeta=e^{2\pi i \over 5}=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}</math>. | ||
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| + | 이제 치환이라는 말을 정의하자. 치환이란 우리의 경우에는 네 개의 원소로 구성된 집합 <math>\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}</math>에 정의되는 전단사함수를 말한다. <math>\alpha_1</math>을 <math>\alpha_3</math>으로 보내고, <math>\alpha_3</math>을 <math>\alpha_1</math>로 보내고, <math>\alpha_2</math>와 <math>\alpha_4</math>는 그대로 두는 치환을 간단히 다음과 같이 쓰자. | ||
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| + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}</math> | ||
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| + | '''방정식의 해의 치환군은 해의 위치를 서로 바꿔주는 치환 중에서, 해들이 만족시키는 방정식의 대수적관계 (더 정확히는 유리계수다항식) 를 보존하는 것들로 정의'''된다. | ||
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| + | 가령 위의 네 해는 <math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>, <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math>와 같은 대수적관계들을 만족시킨다. 그러면 치환군의 원소는 어떤 것들이 있을지 생각해볼 수 있겠다. | ||
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| + | <math>\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> 는 치환군의 원소가 될 수 없는데, <math>\alpha_1\alpha_4=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)\tau(\alpha_4)=\alpha_2\alpha_4\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 임을 기억하자) | ||
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| + | <math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>라는 조건으로부터, <math>\{1,4\}</math>와 <math>\{2,3\}</math> 이 쌍으로 움직여야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 치환들만이 치환군의 원소 후보가 될 수 있다. | ||
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| + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
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| + | 그러나 여기서 <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>와 같은 경우는 치환군의 원소가 될 수 없는데, <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)^2\tau(\alpha_3)=\alpha_1^2\alpha_2\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 이므로) | ||
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| + | 결국엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다. | ||
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| + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
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| + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}</math>는 함수이므로, 이 녀석의 제곱이란 함수의 합성으로 이해할 수 있다. | ||
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| + | <math>\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}</math> 로 두면,<math>\sigma^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math>, <math>\sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}</math>, <math>\sigma^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> 가 되어, 모든 원소가 <math>\sigma</math>로부터 얻어지게 된다. | ||
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| + | 즉 친숙한 군 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 비교하자면, <math>\sigma</math>는 좌향좌 또는 우향우와 같은 역할을 방정식의 해에 대하여 하고 있다. 크기가 4인 [[순환군]]이 된다. | ||
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| + | <math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math>의 네 해는 다음과 같이 주어진다. | ||
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| + | <math>\alpha_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math> | ||
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| + | <math>\alpha_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math> | ||
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| + | <math>\alpha_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math> | ||
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| + | <math>\alpha_4= -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math> | ||
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| + | 이 경우엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다. | ||
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| − | + | <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math> | |
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| − | + | 그런데 | |
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| − | + | <math>x=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>x^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> | |
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| − | + | <math>y=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>y^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> | |
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| − | + | <math>z=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>z^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}</math> | |
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| − | + | 로 모두 제곱하면 항등원이 되어버리므로, 이 군은 절대로 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 같은 구조를 가질 수 없음을 알게 된다. | |
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| − | + | 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>와 <math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math> 는 뭔가 질적으로 다르다는 것을 이 치환군은 말해주고 있다. | |
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| − | * http:// | + | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= |
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
| − | * [ | ||
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| − | + | ==메모== | |
| − | + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/11/01/1603 5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (4) : 방정식의 해와 치환군] | |
| + | * [http://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.html Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle] | ||
| + | * TED 강연 | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | * | + | * [[갈루아 이론]] |
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| − | + | ==관련도서== | |
* Avner Ash, Robert Gross [http://www.amazon.com/Fearless-Symmetry-Exposing-Patterns-Numbers/dp/0691124922 Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers] | * Avner Ash, Robert Gross [http://www.amazon.com/Fearless-Symmetry-Exposing-Patterns-Numbers/dp/0691124922 Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers] | ||
| − | + | ||
| − | + | [[분류:방정식과 근의 공식]] | |
| − | + | [[분류:추상대수학]] | |
2014년 6월 26일 (목) 17:24 기준 최신판
개요
- 군이란 어떤 불변성을 가진 대상에 대한 ‘변화’들의 모임을 말한다
- 군론에 대해서는 고교생도 이해할 수 있는 군론 입문 항목을 참조
- 군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐지만 해가 만족시키는 방정식은 변하지 않는다.
- 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다.
- \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
- \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
- 갈루아 이론 은 5차방정식과 근의 공식 문제를 풀기 위해 방정식의 해가 가지는 대칭성에 대한 연구로부터 시작되었다
켤레복소수의 예
실계수 방정식 \(x^2+1=0\) 에 대하여 생각해보자. 이 방정식은 실수 내에서는 해를 가지지 않으며, 해를 얻기 위해서는 허수라는 것을 실수에 집어넣어 실수를 복소수로 확장하는 작업이 필요하다. (유식한 말을 약간 사용하자면, 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장이라 한다) 이 방정식은 복소수 내에서 두 개의 해 \(\{i,-i\}\)를 가진다.
이제 켤레복소수에 대해 생각해볼 차례이다. 복소수 \(\alpha+\beta i\) (\(\alpha, \beta\)는 실수) 에 대하여 복소수 \(\alpha-\beta i\)를 켤레복소수라 한다. \(\alpha+\beta i\)의 켤레복소수를 취하여 \(\alpha-\beta i\)를 얻는데, 여기서 또한번 켤레복소수를 취하면 다시 \(\alpha+\beta i\) 를 얻게 된다. 복소수를 켤레복소수로 보내는 함수를 \(\sigma(z)=\bar{z}\) 라고 표현한다면, \(\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z\)가 된다. 이를 간략하게 쓰자면 \(\sigma^2=\operatorname{id}\) , 즉 켤레복소수를 취하는 것을 함수로 보아 자기자신과 합성을 하면 항등함수를 얻게 된다는 것이다.
여기서 원소 두 개짜리 군 \(\{\operatorname{id}, \sigma\}\) 을 얻는다. 이를 유식하게는\(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\) 라고 하지만, 차차 알아가도록 하자.
지금 방정식 \(x^2+1=0\)과 그 해집합 \(\{i,-i\}\) 그리고 복소수를 복소수로 보내주는 두 함수, 항등함수와 켤레복소수 함수로 만들어진 군 \(\{\operatorname{id}, \sigma\}\)가 있다.
켤레복소수에 의하면, \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있다.
군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐다. 그러나 그 둘이 만족시키는 방정식 \(x^2+1=0\) 은 변하지 않는다. 이것이 바로 ‘변화속의불변’ – 대칭성이다. 한 방정식의 모든 해는 서로 변해도, 그들은 모두 여전히 같은 방정식을 만족시킨다.
일반화
- 정리
체 \(F\)에 대하여, \(a_n , a_{n-1} , \cdots, a_0 \in F\) 라 하자.
\(\alpha \in \bar{F}\)가 기약방정식 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\)의 해이면, 방정식의 해\(\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n\)를 모두 추가하여 만든 체확장 \(K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)의 갈루아군 \(\text{Gal}(K/F)\) 의 원소 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\) 도 같은 방정식의 해가 된다.
- 증명
\(\alpha \)는 방정식 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\)의 해이므로, \(a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0 = 0\).
\(\sigma\in\text{Gal}(K/F)\)에 대하여 \(\sigma(a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0)= \sigma(0)=0\) 이다.
그런데 \(\sigma\in\text{Gal}(K/F)\) 는 사칙연산을 보존하며 체 \(F\)의 원소들을 변화시키지 않으므로, \(\sigma(a_n {\alpha}^n + a_{n-1} {\alpha}^{n-1} + a_{n-2} {\alpha}^{n-2} + \cdots + a_1 {\alpha} + a_0)=a_n \sigma(\alpha)^n + a_{n-1} \sigma(\alpha)^{n-1} + a_{n-2} \sigma(\alpha)^{n-2} + \cdots + a_1 \sigma(\alpha) + a_0 = 0\)
을 만족시킨다.
따라서 \(\sigma(\alpha)\)도 방정식 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\)의 해가 된다. ■
예
방정식의 해를 요리조리 결합시키는 과정을 체계적으로 생각하는데서, 바로 군론의 아이디어가 싹트게 된다. 오늘은 그에 대한 이야기이다.
\(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)의 네 해는 다음과 같다는 것을 지난 번에 보였다.
\(\alpha_1=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}+i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)=\zeta\)
\(\alpha_2=\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)=\zeta^2\)
\(\alpha_3=\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)=\zeta^3\)
\(\alpha_4=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}-i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)=\zeta^4\)
여기서 \(\zeta=e^{2\pi i \over 5}=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\).
이제 치환이라는 말을 정의하자. 치환이란 우리의 경우에는 네 개의 원소로 구성된 집합 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}\)에 정의되는 전단사함수를 말한다. \(\alpha_1\)을 \(\alpha_3\)으로 보내고, \(\alpha_3\)을 \(\alpha_1\)로 보내고, \(\alpha_2\)와 \(\alpha_4\)는 그대로 두는 치환을 간단히 다음과 같이 쓰자.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}\)
방정식의 해의 치환군은 해의 위치를 서로 바꿔주는 치환 중에서, 해들이 만족시키는 방정식의 대수적관계 (더 정확히는 유리계수다항식) 를 보존하는 것들로 정의된다.
가령 위의 네 해는 \(\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1\), \(\alpha_1^2\alpha_3=1\)와 같은 대수적관계들을 만족시킨다. 그러면 치환군의 원소는 어떤 것들이 있을지 생각해볼 수 있겠다.
\(\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}\) 는 치환군의 원소가 될 수 없는데, \(\alpha_1\alpha_4=1\) 임에 반하여, \(\tau(\alpha_1)\tau(\alpha_4)=\alpha_2\alpha_4\neq 1\)이기 때문이다.(\(\alpha_i=\zeta^i\) 임을 기억하자)
\(\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1\)라는 조건으로부터, \(\{1,4\}\)와 \(\{2,3\}\) 이 쌍으로 움직여야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 치환들만이 치환군의 원소 후보가 될 수 있다.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) ,\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
그러나 여기서 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}\)와 같은 경우는 치환군의 원소가 될 수 없는데, \(\alpha_1^2\alpha_3=1\) 임에 반하여, \(\tau(\alpha_1)^2\tau(\alpha_3)=\alpha_1^2\alpha_2\neq 1\)이기 때문이다.(\(\alpha_i=\zeta^i\) 이므로)
결국엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) ,\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\)는 함수이므로, 이 녀석의 제곱이란 함수의 합성으로 이해할 수 있다.
\(\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) 로 두면,\(\sigma^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\), \(\sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}\), \(\sigma^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\) 가 되어, 모든 원소가 \(\sigma\)로부터 얻어지게 된다.
즉 친숙한 군 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 비교하자면, \(\sigma\)는 좌향좌 또는 우향우와 같은 역할을 방정식의 해에 대하여 하고 있다. 크기가 4인 순환군이 된다.
예
\(x^4 - 10x^2 + 1=0\)의 네 해는 다음과 같이 주어진다.
\(\alpha_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}\)
\(\alpha_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}\)
\(\alpha_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}\)
\(\alpha_4= -\sqrt{2} - \sqrt{3}\)
이 경우엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}\) ,\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
그런데
\(x=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}\)로 쓰면, \(x^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\)
\(y=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}\)로 쓰면, \(y^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\)
\(z=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)로 쓰면, \(z^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\)
로 모두 제곱하면 항등원이 되어버리므로, 이 군은 절대로 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 같은 구조를 가질 수 없음을 알게 된다.
방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)와 \(x^4 - 10x^2 + 1=0\) 는 뭔가 질적으로 다르다는 것을 이 치환군은 말해주고 있다.
역사
메모
관련된 항목들
관련도서
- Avner Ash, Robert Gross Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers